Mostre que o conjunto V=(1, y) ; y in R com as operações
(1, y1)+(1, y2)=(1, y1+y2) e alpha(1, y)=(1, alpha y)
satisfaz 3 das operações da adição de um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define
V = (1,y)mid yinR
com a “adição”
(1,y1)+(1,y2) = (1,y1+y2)
e a multiplicação por escalar
alpha,(1,y) = (1,alpha y)
Vamos mostrar que essa “adição” satisfaz três propriedades de espaços vetoriais: fechamento, comutatividade e associatividade.

Passo 2

(Fechamento)
Tomemos quaisquer (1,y1) e (1,y2) em V. Então, pela definição de soma,
(1,y1)+(1,y2) = (1,y1+y2)
Como y1+y2inR, o par (1,y1+y2) também está em V. Logo, V é fechado sob essa adição.

Passo 3

(Comutatividade)
Ainda que (1,y1), (1,y2)in V, pela definição temos
(1,y1)+(1,y2) = (1,y1+y2) e (1,y2)+(1,y1) = (1,y2+y1)
Como y1+y2 = y2+y1 em R, segue
(1,y1)+(1,y2) = (1,y2)+(1,y1),
ou seja, a soma é comutativa.

Passo 4

(Associatividade)
Sejam (1,y1), (1,y2), (1,y3)in V. Então
(1,y2)+(1,y3) = (1,y2+y3)
e daí
(1,y1)+l[(1,y2)+(1,y3)r] = (1,y1)+(1,y2+y3) = (1,y1+y2+y3)
Por outro lado,
(1,y1)+(1,y2) = (1,y1+y2)
e
l[(1,y1)+(1,y2)r]+(1,y3) = (1,y1+y2)+(1,y3) = (1,y1+y2+y3)
Portanto
(1,y1)+l[(1,y2)+(1,y3)r] = l[(1,y1)+(1,y2)r]+(1,y3),
isto é, a soma é associativa.

Resposta

As três propriedades de adição estão verificadas: fechamento, comutatividade e associatividade. Portanto, a operação de adição em V satisfaz esses três axiomas exigidos para a estrutura de espaço vetorial real.

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