Mostre que o conjunto
com as operações
satisfaz 3 das operações da adição de um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado define
com a “adição”
e a multiplicação por escalar
Vamos mostrar que essa “adição” satisfaz três propriedades de espaços vetoriais: fechamento, comutatividade e associatividade.
Passo 2
(Fechamento)
Tomemos quaisquer e
em
. Então, pela definição de soma,
Tomemos quaisquer
Como
, o par
também está em
. Logo,
é fechado sob essa adição.
Passo 3
(Comutatividade)
Ainda que ,
, pela definição temos
Ainda que
Como
em
, segue
ou seja, a soma é comutativa.
Passo 4
(Associatividade)
Sejam ,
,
. Então
Sejam
e daí
Por outro lado,
e
Portanto
isto é, a soma é associativa.
Resposta
As três propriedades de adição estão verificadas: fechamento, comutatividade e associatividade. Portanto, a operação de adição em
satisfaz esses três axiomas exigidos para a estrutura de espaço vetorial real.