Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor em relação à base em cada caso: e ;
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de polinômios de grau no máximo 2. Queremos encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear de vetores e resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que encontrar as coordenadas de na base significa expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Passo 3
Vamos substituir e expandir a combinação linear:
Isso fica:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que as duas expressões sejam iguais para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação: -c2 = 0 implica c2 = 0 .
Da terceira equação: -c3 = 1 implica c3 = -1 .
Substituindo c2 e c3 na primeira equação:
2c1 + 0 + (-1) = 2 2c1 = 3 c1 = 32
Resposta
As coordenadas do vetor v(t) = 2 + t^2 na base B são: