Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v in V em relação à base B em cada caso:
V=P2, v(t)=2+t^2 e B=2,1-t, 1-t^2;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = P2 , que é o conjunto de polinômios de grau no máximo 2. Queremos encontrar as coordenadas do vetor v(t) = 2 + t^2 em relação à base B = 2, 1 - t, 1 - t^2 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear de vetores e resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que encontrar as coordenadas de v(t) na base B significa expressar v(t) como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar coeficientes c1 , c2 e c3 tais que:
v(t) = c1 cdot 2 + c2 cdot (1 - t) + c3 cdot (1 - t^2)

Passo 3

Vamos substituir v(t) e expandir a combinação linear:
2 + t^2 = c1 cdot 2 + c2 cdot (1 - t) + c3 cdot (1 - t^2)
Isso fica:
2 + t^2 = 2c1 + c2 - c2 t + c3 - c3 t^2

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
2 + t^2 = (2c1 + c2 + c3) + (-c2) t + (-c3) t^2
Para que as duas expressões sejam iguais para todos os valores de t , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:
2c1 + c2 + c3 = 2 -c2 = 0 -c3 = 1

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da segunda equação: -c2 = 0 implica c2 = 0 .
  2. Da terceira equação: -c3 = 1 implica c3 = -1 .
  3. Substituindo c2 e c3 na primeira equação:
2c1 + 0 + (-1) = 2 2c1 = 3 c1 = 32

Resposta

As coordenadas do vetor v(t) = 2 + t^2 na base B são:
[ 32, 0, -1 ]

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