Determine quais dos conjuntos são subespaços vetoriais de
:
Todos os polinômios
para os quais
.
Todos os polinômios
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se um determinado conjunto de polinômios é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. O conjunto em questão consiste em polinômios da forma
onde a soma dos coeficientes
é maior ou igual a zero. Para verificar se é um subespaço, vamos precisar usar os critérios de subespaço vetorial.
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio
. A soma dos coeficientes é
, que satisfaz
. Portanto, o conjunto contém o vetor zero.
O vetor zero em
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto:
A soma deles é:
A soma dos coeficientes é
.
Como
e
, a soma também será maior ou igual a zero. Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio do conjunto:
Vamos pegar um polinômio do conjunto:
E multiplicar por um escalar
:
A soma dos coeficientes é
.
Para o conjunto ser fechado sob multiplicação, precisamos que
para todo
. No entanto, se
for negativo, mesmo que
, o produto pode ser negativo, o que viola a condição do conjunto.
Resposta
Como o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de
.