Determine quais dos conjuntos são subespaços vetoriais de P3(R) :
Todos os polinômios a0+a1 t+a2 t^2+a3 t^3 para os quais a0+a1+a2+a3 >= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se um determinado conjunto de polinômios é um subespaço vetorial de P3(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. O conjunto em questão consiste em polinômios da forma a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 onde a soma dos coeficientes a0 + a1 + a2 + a3 é maior ou igual a zero. Para verificar se é um subespaço, vamos precisar usar os critérios de subespaço vetorial.

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em P3(R) é o polinômio 0 + 0t + 0t^2 + 0t^3. A soma dos coeficientes é 0 + 0 + 0 + 0 = 0, que satisfaz a0 + a1 + a2 + a3 >= 0. Portanto, o conjunto contém o vetor zero.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto:
P(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3
Q(t) = b0 + b1 t + b2 t^2 + b3 t^3
A soma deles é:
P(t) + Q(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1) t + (a2 + b2) t^2 + (a3 + b3) t^3
A soma dos coeficientes é (a0 + b0) + (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) = (a0 + a1 + a2 + a3) + (b0 + b1 + b2 + b3).
Como a0 + a1 + a2 + a3 >= 0 e b0 + b1 + b2 + b3 >= 0, a soma também será maior ou igual a zero. Assim, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio do conjunto:
P(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3
E multiplicar por um escalar k in R:
k cdot P(t) = (k a0) + (k a1) t + (k a2) t^2 + (k a3) t^3
A soma dos coeficientes é k a0 + k a1 + k a2 + k a3 = k (a0 + a1 + a2 + a3).
Para o conjunto ser fechado sob multiplicação, precisamos que k (a0 + a1 + a2 + a3) >= 0 para todo k. No entanto, se k for negativo, mesmo que a0 + a1 + a2 + a3 >= 0, o produto pode ser negativo, o que viola a condição do conjunto.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de P3(R).

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