Seja W o subespaço de P3 gerado pelos polinômios p, q, w e h, em que:
p(t)=1, q(t)=t+t^3, w(t)=t+t^2+t^3, h(t)=1+t+t^2+t^3
Encontre o subespaço gerado por p, q, w e h.

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para encontrar o subespaço gerado pelos polinômios p(t) = 1 , q(t) = t + t^3 , w(t) = t + t^2 + t^3 e h(t) = 1 + t + t^2 + t^3 dentro de P3 , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios para formar todos os elementos do subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como:
a cdot p(t) + b cdot q(t) + c cdot w(t) + d cdot h(t)
onde a, b, c, d são números reais.

Passo 3

Vamos substituir os polinômios dados na expressão acima:
a cdot 1 + b cdot (t + t^3) + c cdot (t + t^2 + t^3) + d cdot (1 + t + t^2 + t^3)

Passo 4

Agora, vamos expandir essa expressão agrupando os termos semelhantes:
(a + d) + (b + c + d) t + (c + d) t^2 + (b + c + d) t^3

Passo 5

Podemos reescrever isso como:
alpha + beta t + gamma t^2 + de<a t^3
onde:
alpha = a + d beta = b + c + d gamma = c + d de<a = b + c + d

Passo 6

Observando as equações acima, percebemos que beta = de<a . Isso significa que a coordenada do termo t é igual à coordenada do termo t^3 .

Passo 7

Portanto, o subespaço gerado por p, q, w e h consiste em todos os polinômios de P3 que satisfazem a condição:
de<a = beta
ou seja,
c + d = b + c + d

Passo 8

Simplificando a equação, temos:
0 = b
Isso implica que b = 0 .

Passo 9

Com b = 0 , as coordenadas ficam:
alpha = a + d beta = c + d gamma = c + d de<a = c + d

Passo 10

Assim, qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como:
(a + d) + (c + d) t + (c + d) t^2 + (c + d) t^3

Passo 11

Podemos fatorar c + d :
(a + d) + (c + d)(t + t^2 + t^3)

Passo 12

Isso mostra que o subespaço é gerado pelos polinômios 1 e t + t^2 + t^3 . Logo, é um subespaço de dimensão 2.

Resposta

O subespaço gerado por p, q, w e h é o conjunto de todos os polinômios da forma
alpha + beta t + beta t^2 + beta t^3
onde alpha, beta são números reais. Ou seja,
W = span1, t + t^2 + t^3

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