Seja o subespaço de gerado pelos polinômios e , em que:
Encontre o subespaço gerado por e .
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para encontrar o subespaço gerado pelos polinômios , , e dentro de , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios para formar todos os elementos do subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 3
Vamos substituir os polinômios dados na expressão acima:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa expressão agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Podemos reescrever isso como:
onde:
Passo 6
Observando as equações acima, percebemos que beta = de<a . Isso significa que a coordenada do termo t é igual à coordenada do termo t^3 .
Passo 7
Portanto, o subespaço gerado por p, q, w e h consiste em todos os polinômios de P3 que satisfazem a condição:
de<a = beta
ou seja,
c + d = b + c + d
Passo 8
Simplificando a equação, temos:
0 = b
Isso implica que b = 0 .
Passo 9
Com b = 0 , as coordenadas ficam:
alpha = a + d beta = c + d gamma = c + d de<a = c + d
Passo 10
Assim, qualquer polinômio no subespaço pode ser escrito como:
(a + d) + (c + d) t + (c + d) t^2 + (c + d) t^3
Passo 11
Podemos fatorar c + d :
(a + d) + (c + d)(t + t^2 + t^3)
Passo 12
Isso mostra que o subespaço é gerado pelos polinômios 1 e t + t^2 + t^3 . Logo, é um subespaço de dimensão 2.
Resposta
O subespaço gerado por p, q, w e h é o conjunto de todos os polinômios da forma