5.4 As componentes da velocidade para um campo de fluxo constante incompressível são u=A\left(x^{2}+z^{2}\right) e v=B(x y+y z). Determine a componente z da velocidade para fluxo constante e para fluxo instável

Passo 1

O enunciado dá as componentes u e v de um campo de velocidade e pede a componente na direção z. Mais precisamente:
  • Dados: u = A\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)
v = B\bigl(xy + yz\bigr)
onde A e B são constantes (ou parâmetros) e x,y,z são as coordenadas espaciais.
  • Perguntas:
    1. Determinar a componente z da velocidade para fluxo constante (isto é, fluxo estacionário / independente do tempo).
    2. Determinar a componente z da velocidade para fluxo instável (isto é, fluxo não estacionário / dependente do tempo).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: para um fluido incompressível, a equação da continuidade (conservação de massa) diz que a divergência do campo de velocidade é zero. Em notação de derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0,
onde w é a componente da velocidade na direção z. Aqui:
  • \partial u/\partial x é a taxa de variação de u ao longo de x,
  • \partial v/\partial y é a taxa de variação de v ao longo de y,
  • \partial w/\partial z é a taxa de variação de w ao longo de z.
    Essa equação vale para todo ponto do espaço (e em cada instante de tempo, no caso não estacionário).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais \partial u/\partial x e \partial v/\partial y explicitamente, passo a passo.
Para u = A(x^{2}+z^{2}):
  • Ao derivar em relação a x, z é tratado como constante. Então
\frac{\partial u}{\partial x} = A \cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr) = A \cdot 2x = 2A x.
Para v = B(xy + yz):
  • Ao derivar em relação a y, tratamos x e z como constantes. Derivando termo a termo:
\frac{\partial v}{\partial y} = B\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy) + B\cdot\frac{\partial}{\partial y}(yz) = B\cdot x + B\cdot z = B(x+z).

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação da continuidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0
fica
2A x + B(x+z) + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
Isolando \partial w/\partial z:
\frac{\partial w}{\partial z} = -\bigl(2A x + B(x+z)\bigr).
Agrupando os termos em x e z:
\frac{\partial w}{\partial z} = -\bigl((2A+B)x + B z\bigr).

Passo 5

Agora integramos em relação a z para obter w. Lembre-se: quando integramos uma derivada parcial em relação a z, a “constante” de integração pode ser uma função das outras variáveis (aqui x e y), e, no caso não estacionário, pode também depender do tempo t.
Integração direta:
w(x,y,z) = \int \frac{\partial w}{\partial z}\,dz = \int \left(-\bigl((2A+B)x + B z\bigr)\right) dz.
Integramos termo a termo:
  • \int -((2A+B)x)\,dz = -((2A+B)x)\,z, pois x é constante na integração em z.
  • \int -B z\,dz = -\frac{B}{2} z^{2}.
    Somando e incluindo a função de integração arbitrária \Phi(x,y) (constante em z) obtemos:
w(x,y,z) = -\bigl(2A+B\bigr)x z - \frac{B}{2} z^{2} + \Phi(x,y).

Passo 6

Interpretação para o caso estacionário (fluxo constante):
  • Em fluxo estacionário (independente do tempo), todas as componentes de velocidade não dependem de t. Logo a função de integração \Phi não pode depender de t; ela pode depender apenas de x e y.
  • Assim, a componente z da velocidade, em forma geral, é
w(x,y,z) = -\bigl(2A+B\bigr)x z - \frac{B}{2} z^{2} + F(x,y),
onde F(x,y) é uma função arbitrária de x e y que deve ser determinada por condições de contorno ou adicionais (p. ex. condição de velocidade na superfície z=0, etc.).

Passo 7

Interpretação para o caso não estacionário (fluxo instável):
  • Em fluxo não estacionário (dependente do tempo), a equação da continuidade para um fluido incompressível ainda exige divergência nula em cada instante. Ao integrar em z, a “constante” de integração pode agora depender de x,y e também do tempo t.
  • Portanto, a forma geral de w no caso não estacionário é
w(x,y,z,t) = -\bigl(2A+B\bigr)x z - \frac{B}{2} z^{2} + G(x,y,t),
onde G(x,y,t) é função arbitrária de x,y,t determinada por condições iniciais/contorno temporais.

Passo 8

Observações úteis para a prova (dicas práticas):
  • Se em algum enunciado for dada uma condição do tipo w(x,y,0)=0, basta substituir z=0 na expressão e obter F(x,y)=0 (ou G(x,y,t)=0 no caso não estacionário). Isso muitas vezes é pedido em exercícios.
  • Se desejarem uma solução única, sempre vão precisar de condições de contorno ou informações adicionais sobre w em alguma superfície (por exemplo, parede sólida com w=0 ou valor conhecido em z=0).
  • Lembre-se: o passo mais importante é aplicar corretamente a equação da continuidade e lembrar que a constante de integração em integrais parciais é uma função das variáveis que não foram integradas.

Resposta

w(x,y,z) = -\bigl(2A+B\bigr)x z - \dfrac{B}{2} z^{2} + F(x,y)\n
w(x,y,z,t) = -\bigl(2A+B\bigr)x z - \dfrac{B}{2} z^{2} + G(x,y,t)

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