5.4 As componentes da velocidade para um campo de fluxo constante incompressível são
e
. Determine a componente
da velocidade para fluxo constante e para fluxo instável
Passo 1
O enunciado dá as componentes
e
de um campo de velocidade e pede a componente na direção
. Mais precisamente:
- Dados:
onde
e
são constantes (ou parâmetros) e
são as coordenadas espaciais.
- Perguntas:
- Determinar a componente
da velocidade para fluxo constante (isto é, fluxo estacionário / independente do tempo). - Determinar a componente
da velocidade para fluxo instável (isto é, fluxo não estacionário / dependente do tempo).
- Determinar a componente
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: para um fluido incompressível, a equação da continuidade (conservação de massa) diz que a divergência do campo de velocidade é zero. Em notação de derivadas parciais:
onde
é a componente da velocidade na direção
. Aqui:
-
é a taxa de variação de ao longo de , -
é a taxa de variação de ao longo de , -
é a taxa de variação de ao longo de .
Essa equação vale para todo ponto do espaço (e em cada instante de tempo, no caso não estacionário).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
explicitamente, passo a passo.
Para
:
- Ao derivar em relação a
, é tratado como constante. Então
Para
:
- Ao derivar em relação a
, tratamos e como constantes. Derivando termo a termo:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na equação da continuidade:
fica
Isolando
:
Agrupando os termos em
e
:
Passo 5
Agora integramos em relação a
para obter
. Lembre-se: quando integramos uma derivada parcial em relação a
, a “constante” de integração pode ser uma função das outras variáveis (aqui
e
), e, no caso não estacionário, pode também depender do tempo
.
Integração direta:
Integramos termo a termo:
-
, pois é constante na integração em . -
.
Somando e incluindo a função de integração arbitrária(constante em ) obtemos:
Passo 6
Interpretação para o caso estacionário (fluxo constante):
- Em fluxo estacionário (independente do tempo), todas as componentes de velocidade não dependem de
. Logo a função de integração não pode depender de ; ela pode depender apenas de e . - Assim, a componente
da velocidade, em forma geral, é
onde
é uma função arbitrária de
e
que deve ser determinada por condições de contorno ou adicionais (p. ex. condição de velocidade na superfície
, etc.).
Passo 7
Interpretação para o caso não estacionário (fluxo instável):
- Em fluxo não estacionário (dependente do tempo), a equação da continuidade para um fluido incompressível ainda exige divergência nula em cada instante. Ao integrar em
, a “constante” de integração pode agora depender de e também do tempo . - Portanto, a forma geral de
no caso não estacionário é
onde
é função arbitrária de
determinada por condições iniciais/contorno temporais.
Passo 8
Observações úteis para a prova (dicas práticas):
- Se em algum enunciado for dada uma condição do tipo
, basta substituir na expressão e obter (ou no caso não estacionário). Isso muitas vezes é pedido em exercícios. - Se desejarem uma solução única, sempre vão precisar de condições de contorno ou informações adicionais sobre
em alguma superfície (por exemplo, parede sólida com ou valor conhecido em ). - Lembre-se: o passo mais importante é aplicar corretamente a equação da continuidade e lembrar que a constante de integração em integrais parciais é uma função das variáveis que não foram integradas.