Determine quais dos seguintes campos de escoamento representam um possível escoamento incompressivel.
(a) V, U \cos 0 ; V=-U \operatorname{sen} 0

Passo 1

O enunciado (no item (a)) dá um campo de velocidade cujas componentes são, conforme vou interpretar (substituindo o símbolo 0 por \theta, que é a notação usual),
v_x = U\cos\theta,\qquad v_y = -\,U\sin\theta,
onde U e \theta podem, em princípio, depender da posição (x,y) (ou podem ser constantes). A pergunta é: esse campo pode representar um escoamento incompressível? Vou trabalhar o caso geral (possível dependência espacial de U e \theta) e depois tratar casos particulares simples.

Passo 2

Regra para escoamento incompressível: um campo de velocidade \mathbf{v}=(v_x,v_y) é incompressível se a divergência é nula:
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=0.
Vou calcular essa soma para nosso campo. Aqui \partial_x significa \partial/\partial x e \partial_y significa \partial/\partial y.

Passo 3

Calculo de \partial_x v_x. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia porque U=U(x,y) e \theta=\theta(x,y) podem depender de x,y:
\frac{\partial v_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(U\cos\theta\bigr) =\frac{\partial U}{\partial x}\cos\theta + U\frac{\partial (\cos\theta)}{\partial x}.
Agora \partial_x(\cos\theta) = -\sin\theta\;\partial_x\theta. Portanto
\frac{\partial v_x}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial x}\cos\theta - U\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial x}.

Passo 4

Calculo de \partial_y v_y. Lembrando que v_y=-U\sin\theta:
\frac{\partial v_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-U\sin\theta\bigr) =-\frac{\partial U}{\partial y}\sin\theta - U\frac{\partial (\sin\theta)}{\partial y}.
E \partial_y(\sin\theta)=\cos\theta\;\partial_y\theta. Logo
\frac{\partial v_y}{\partial y}=-\frac{\partial U}{\partial y}\sin\theta - U\cos\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial y}.

Passo 5

Somando as duas derivadas para obter a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{v} =\biggl(\frac{\partial U}{\partial x}\cos\theta - U\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial x}\biggr) +\biggl(-\frac{\partial U}{\partial y}\sin\theta - U\cos\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial y}\biggr).
Agrupando os termos:
\nabla\cdot\mathbf{v} =\cos\theta\;\frac{\partial U}{\partial x}-\sin\theta\;\frac{\partial U}{\partial y} - U\Bigl(\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial x}+\cos\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial y}\Bigr).

Passo 6

Interpretação e condição de incompressibilidade. Para ser incompressível precisamos de \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Assim a condição necessária e suficiente é
\cos\theta\;\frac{\partial U}{\partial x}-\sin\theta\;\frac{\partial U}{\partial y} = U\Bigl(\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial x}+\cos\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial y}\Bigr).
Essa é a forma explícita em derivadas parciais. Alguns casos simples:
  • Se U e \theta são constantes (isto é, campo uniforme), todas as derivadas espaciais são zero e \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Portanto o campo constante v_x=U\cos\theta,\;v_y=-U\sin\theta é incompressível.
  • Se \theta é constante mas U=U(x,y) varia, a condição reduz para
\cos\theta\;\frac{\partial U}{\partial x}-\sin\theta\;\frac{\partial U}{\partial y}=0,
ou seja, U deve ser constante ao longo das retas na direção (\cos\theta,-\sin\theta) (derivada direcional nula nessa direção).
  • Se U é constante mas \theta=\theta(x,y) varia, a condição reduz para
\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial x}+\cos\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial y}=0,
isto é, uma condição sobre como \theta varia no espaço.

Passo 7

Resumo didático rápido (como verificar na prova):
  1. Escreva v_x e v_y.
  2. Calcule \partial_x v_x e \partial_y v_y aplicando produto e cadeia.
  3. Some; imponha igualdade a zero.
  4. Simplifique e interprete a condição resultante. Se as funções envolvidas forem constantes, a divergência é zero imediatamente.

Resposta

O campo representa um escoamento incompressível se, e somente se,
\cos\theta\;\frac{\partial U}{\partial x}-\sin\theta\;\frac{\partial U}{\partial y} = U\Bigl(\sin\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial x}+\cos\theta\;\frac{\partial\theta}{\partial y}\Bigr).
Em particular, se U e \theta são constantes então o campo é incompressível.

Exercícios relacionados