Determine quais dos seguintes campos de escoamento representam um possível escoamento incompressivel.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado (no item (a)) dá um campo de velocidade cujas componentes são, conforme vou interpretar (substituindo o símbolo , que é a notação usual),
0 por
onde
e
podem, em princípio, depender da posição
(ou podem ser constantes). A pergunta é: esse campo pode representar um escoamento incompressível? Vou trabalhar o caso geral (possível dependência espacial de
e
) e depois tratar casos particulares simples.
Passo 2
Regra para escoamento incompressível: um campo de velocidade
é incompressível se a divergência é nula:
Vou calcular essa soma para nosso campo. Aqui
significa
e
significa
.
Passo 3
Calculo de
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia porque
e
podem depender de
:
Agora
. Portanto
Passo 4
Calculo de
. Lembrando que
:
E
. Logo
Passo 5
Somando as duas derivadas para obter a divergência:
Agrupando os termos:
Passo 6
Interpretação e condição de incompressibilidade. Para ser incompressível precisamos de
. Assim a condição necessária e suficiente é
Essa é a forma explícita em derivadas parciais. Alguns casos simples:
- Se
e são constantes (isto é, campo uniforme), todas as derivadas espaciais são zero e . Portanto o campo constante é incompressível. - Se
é constante mas varia, a condição reduz para
ou seja,
deve ser constante ao longo das retas na direção
(derivada direcional nula nessa direção).
- Se
é constante mas varia, a condição reduz para
isto é, uma condição sobre como
varia no espaço.
Passo 7
Resumo didático rápido (como verificar na prova):
- Escreva
e . - Calcule
e aplicando produto e cadeia. - Some; imponha igualdade a zero.
- Simplifique e interprete a condição resultante. Se as funções envolvidas forem constantes, a divergência é zero imediatamente.
Resposta
O campo representa um escoamento incompressível se, e somente se,
Em particular, se
e
são constantes então o campo é incompressível.