Componentes de um vetor. Um vetor \overrightarrow{\mathrm{A}} no plano x y tem módulo igual a 10,0 unidades de comprimento e faz um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x positivo.
(a) Calcule as componentes A_{x} e A_{y} do vetor \overrightarrow{\mathrm{A}}.
(b) Determine o vetor unitário na direção de \overrightarrow{\mathrm{A}}.

Passo 1

O enunciado descreve um vetor \overrightarrow{A} no plano xy com módulo \,10,0 unidades e ângulo \,30^\circ em relação ao eixo x positivo. Para resolver, vamos usar a decomposição de vetores em componentes cartesianas:
A_x = A\cos\theta,\quad A_y = A\sin\theta.

Passo 2

Substituindo A=10,0 e \theta=30^\circ nas fórmulas, calculamos
A_x = 10,0\cos30^\circ,\quad A_y = 10,0\sin30^\circ.
Sabendo que \cos30^\circ = \frac{\sqrt3}{2} e \sin30^\circ = \frac12, temos
A_x = 10,0\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3, \quad A_y = 10,0\cdot\frac12 = 5.

Passo 3

O vetor unitário na direção de \overrightarrow{A} é dado por
\hat{u}_A = \frac{\overrightarrow{A}}{\|\overrightarrow{A}\|} = \frac{A_x\,\hat{i} + A_y\,\hat{j}}{10,0} = \Bigl(\frac{A_x}{10,0}\Bigr)\hat{i} + \Bigl(\frac{A_y}{10,0}\Bigr)\hat{j}.
Substituindo A_x = 5\sqrt3 e A_y = 5, obtemos
\hat{u}_A = \frac{5\sqrt3}{10,0}\hat{i} + \frac{5}{10,0}\hat{j} = \frac{\sqrt3}{2}\hat{i} + \frac12\hat{j}.

Resposta

A_x = 5\sqrt3\approx8,66,\quad A_y = 5,\quad \hat{u}_A = \frac{\sqrt3}{2}\hat{i} + \frac12\hat{j}.

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