Lei dos senos e cossenos. Considere três vetores \vec{A}, \vec{B} e \vec{C} localizados no mesmo plano que possuem módulos iguais a 7,00 , 6,00 e 5,00 unidades de comprimento, respectivamente. Os vetores \vec{A} e \vec{B} formam um ângulo de 60^{\circ}, enquanto \vec{B} e \vec{C} formam um ângulo de 90^{\circ} entre si. Determine o módulo do vetor resultante e sua direção em relação ao vetor \overrightarrow{\mathrm{A}}.

Passo 1

Temos três vetores coplanares \vec A,\vec B,\vec C com
\lvert \vec A\rvert =7, \lvert \vec B\rvert =6, \lvert \vec C\rvert =5,
ângulo entre \vec A e \vec B igual a 60^\circ e entre \vec B e \vec C igual a 90^\circ.
Queremos o módulo e a direção do resultante \vec R=\vec A+\vec B+\vec C medidos a partir de \vec A.
Para isso vamos usar a decomposição em componentes cartesianas e depois aplicar
\lvert \vec R\rvert =\sqrt{R_x^2+R_y^2} e \theta=\arctan\bigl(R_y/R_x\bigr).

Passo 2

Escolho o eixo x alinhado com \vec A (sentido positivo para a direita) e o eixo y para cima.
Nesse sistema:
\vec A=(A_x,A_y)=(7,0), pois \lvert\vec A\rvert=7 e está em 0^\circ.

Passo 3

O vetor \vec B faz ângulo de 60^\circ acima do eixo x. Então
B_x = 6\cos(60^\circ)=3, \quad B_y = 6\sin(60^\circ)=3\sqrt3\approx5{,}196.
Logo \vec B=(3,\;3\sqrt3).

Passo 4

Como o ângulo entre \vec B e \vec C é 90^\circ, tomamos a orientação no sentido anti-horário para manter consistência.
O ângulo de \vec B a partir do eixo x vale 60^\circ, então o ângulo de \vec C a partir do eixo x será
\phi_C = 60^\circ + 90^\circ =150^\circ.
Assim
C_x = 5\cos(150^\circ) = 5\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) = -\tfrac{5\sqrt3}{2}\approx -4{,}330,
C_y = 5\sin(150^\circ) = 5\bigl(\tfrac12\bigr) = 2{,}5.
Logo \vec C\approx(-4{,}330,\;2{,}5).

Passo 5

Somamos componente a componente:
R_x = A_x + B_x + C_x = 7 + 3 -4{,}330 = 5{,}670,
R_y = A_y + B_y + C_y = 0 + 5{,}196 + 2{,}5 = 7{,}696.
O módulo do resultante é
\lvert \vec R\rvert = \sqrt{(5{,}670)^2 + (7{,}696)^2} \approx \sqrt{32{,}15 + 59{,}23} \approx \sqrt{91{,}38} \approx 9{,}56.
A direção em relação a \vec A (eixo x) é
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{R_y}{R_x}\biggr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{7{,}696}{5{,}670}\bigr) \approx 53{,}7^\circ.

Resposta

Módulo do resultante: \lvert \vec R\rvert \approx 9{,}56.
Direção em relação a \vec A: \theta \approx 53{,}7^\circ.

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