Lei dos senos. O vetor resultante da soma de dois vetores tem módulo igual a 40,0 unidades de comprimento e forma ângulos de 30^{\circ} e 45^{\circ} com cada um deles. Determine os módulos dos dois vetores.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec A e \vec B cuja soma é \vec R=\vec A+\vec B com |\vec R|=40,0 e faz \,30^\circ com \vec A e \,45^\circ com \vec B. Vamos usar a Lei dos Senos no triângulo formado pelos módulos |A|, |B| e |R|.

Passo 2

No triângulo dos vetores, os lados são |A|, |B| e |R|=40,0. Os ângulos internos opostos a esses lados são:
  • ao lado |A|: ângulo de 45^\circ (entre \vec R e \vec B),
  • ao lado |B|: ângulo de 30^\circ (entre \vec R e \vec A),
  • ao lado |R|:
180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ.

Passo 3

A Lei dos Senos afirma:
\frac{|A|}{\sin45^\circ} \;=\;\frac{|B|}{\sin30^\circ} \;=\;\frac{|R|}{\sin105^\circ}.
Assim,
|A| = |R|\;\frac{\sin45^\circ}{\sin105^\circ}, \qquad |B| = |R|\;\frac{\sin30^\circ}{\sin105^\circ}.

Passo 4

Calculando os senos:
\sin45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}, \quad \sin30^\circ = \frac12, \quad \sin105^\circ = \sin75^\circ = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0,9659.
Então
|A| = 40{,}0\times\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{0,9659}\approx29{,}3, \quad |B| = 40{,}0\times\frac{\frac12}{0,9659}\approx20{,}7.

Resposta

Os módulos são |A|\approx29,3 e |B|\approx20,7.

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