Para compor as equipes para uma competição entre escolas, o professor de Educação Física de um colégio precisa definir a última vaga das seleções de vôlei, basquete e futebol entre dez garotos que restaram. Oito deles competem nas três modalidades e os demais só jogam futebol. De quantas formas distintas o professor pode completar as três equipes?

Passo 1

O enunciado pede para preencher a última vaga de cada time de vôlei, basquete e futebol a partir de 10 garotos, sendo 8 aptos a jogar as três modalidades e 2 que jogam somente futebol. O que precisamos é contar de quantas formas distintas podemos escolher um garoto para cada vaga, respeitando as restrições de elegibilidade.

Passo 2

Para a vaga de vôlei só podemos escolher entre os 8 garotos polivalentes. Logo, há 8 opções para o jogador de vôlei.

Passo 3

Depois de escolher o jogador de vôlei, restam 8-1=7 garotos polivalentes que ainda podem ocupar a vaga de basquete. Portanto, há 7 opções para o jogador de basquete.

Passo 4

Por fim, para a vaga de futebol podemos escolher qualquer um dos garotos restantes. Como já escolhemos 2 dentre os 10, sobram 10-2=8 garotos elegíveis, incluindo os 2 que só jogam futebol mais os 6 polivalentes não escolhidos. Logo, há 8 opções para o jogador de futebol.

Passo 5

Usando o princípio multiplicativo, o número total de maneiras de preencher as três vagas é
8 \times 7 \times 8 = 448.

Resposta

448

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