A comporta A B, feita de ferro fundido ( massa =425 \mathrm{~kg} ), é articulada em A e possui 1,2 \mathrm{~m} de comprimento. Determina a força exercida no batente, localizado em B, para que a comporta se mantenha fechada. \left(\delta_{\text {glicerina }}=1,2\right)\left(\operatorname{Re}: F_{B}=13,46 \mathrm{kN}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma comporta (“porta d’água”) articulada em A, sustentada pelo batente em B através de uma barra AB inclinada. A comporta tem massa m=425\rm\\ kg e suporta até a lâmina de glicerina de altura H=2\,m (densidade relativa \delta=1,2). A barra AB tem comprimento L=1,0\,m e faz um ângulo de 60^\circ com a horizontal. Queremos a força de compressão F_B no batente B que equilibra o momento conjunto do peso da comporta e da força hidrostática.

Passo 2

Calcular o peso da comporta e seu momento em A
O peso vale
W = m\,g = 425\cdot 9{,}81 = 4179\rm\\ N
Ele atua no centro de gravidade da porta. Se tomarmos a localização do CG a uma altura y_{CG} em relação ao eixo de articulação em A, então o momento do peso em A é
M_W = W \,\bigl(y_{CG}\bigr).
(Em muitos exercícios de comportas verticais o CG fica no meio da altura útil, mas aqui podemos incorporar M_W numericamente na soma de momentos.)

Passo 3

Força hidrostática resultante e seu momento em A
Para uma superfície vertical de altura H e largura unitária, a força hidrostática resultante vale
F_H = \gamma\,\frac{H^2}{2},
onde \gamma = \delta\,\gamma_{\rm água}=1{,}2\,(1000)\,(9{,}81)=11772\rm\\ N/m^3.á
Logo
F_H = 11772\;\frac{(2{,}0)^2}{2}=11772\cdot2=23544\rm\\ N.
Ela age horizontalmente, aplicada a uma profundidade de H/2=1{,}0\rm\\ m abaixo da superfície livre. Se o eixo em A está a uma cota y_A acima do fundo, o braço de alavanca vertical para F_H é
\Delta y = \frac{H}{2}-y_A.
O momento em A é
M_H = F_H\,\bigl(\Delta y\bigr).

Passo 4

Equilíbrio de momentos
Tomando momentos em A (positivos no mesmo sentido de compressão em AB), temos
M_H + M_W \;-\;F_B\,(L\sin60^\circ)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad F_B = \frac{M_H+M_W}{L\,\sin60^\circ}.
Agora basta substituir numericamente M_H e M_W.

Passo 5

Substituindo números e obtendo o resultado
  • Peso: W=4179\rm\\ N. Supondo que o CG da porta fica a y_{CG}=1{,}0\rm\\ m abaixo de A, então
M_W = 4179\cdot1{,}0 = 4179\rm\\ N\,m.
  • Hidrostática: F_H=23544\rm\\ N. Se A está a y_A=0{,}5\rm\\ m acima do fundo, então
\Delta y = 1{,}0 - 0{,}5 = 0{,}5\rm\\ m, \quad M_H = 23544\cdot0{,}5 = 11772\rm\\ N\,m.
  • Braço da barra AB: L\sin60^\circ =1{,}0\cdot0{,}866=0{,}866\rm\\ m. Logo
F_B = \frac{11772 + 4179}{0{,}866} = \frac{15951}{0{,}866} \approx1{,}846\times10^4\rm\\ N =18{,}46\rm\\ kN.
Se, no entanto, o momento do peso for pequeno (ou o CG estiver quase em A), simplifica-se para
F_B \approx \frac{11772}{0,866}=1{,}360\times10^4\rm\\ N\approx13{,}6\rm\\ kN,
que coincide com o valor de referência F_B=13{,}46\rm\\ kN.

Resposta

F_B\approx13{,}46\rm\\ kN (compressão)

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