Um reservatório possui água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e uma comporta de fundo, com 2 m de altura e 3 m de largura, articulada em A e com uma tranca em B. A parede onde a comporta está instalada está com um ângulo de 60 o em relação ao plano horizontal, e a massa da comporta é de 200 kg. Para a condição de equilíbrio abaixo determine a força que a tranca deverá exercer sobre a comporta para que a mesma não se abra. Dados: \mathrm{H}=40 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{L}=20 cm. Re: 72,5 \mathrm{kN}

Passo 1

O problema é de estática de corpo rígido – uma comporta retangular de altura 2{,}0,m e largura 3{,}0,m, articulada em A e presa por uma tranca em B. Há água de um lado da comporta (densidade \rho=1000,kg/ m^{3}) até o topo da comporta, num plano inclinado de 60^\circ em relação à horizontal. Por outro lado, a comporta “vê” uma pressão constante no interior, medida por um manômetro em U com mercúrio \rho_\text{Hg}=13{,}6\,\rho que dá leitura H=0{,}40,m. A massa da comporta é m=200,kg.
Conteúdo:
  • Cálculo da resultante hidrostática num plano inclinado.
  • Cálculo da pressão interna constante a partir do manômetro.
  • Equilíbrio de momentos em A para achar a força na tranca em B.

Passo 2

Calcular a força hidrostática F_h na face externa (lado do reservatório).
Em um plano de comprimento L=2{,}0,m inclinado de \theta=60^\circ, a pressão num elemento a uma distância s de A é
p(s)\;=\;\rho\,g\,(s\sin\theta)\,,
e o elemento de força é dF=p(s)\,w\,ds, com w=3{,}0,m a largura.
Assim
F_h \;=\;\int_0^L \rho g\,(s\sin\theta)\,w\,ds \;=\;\rho\,g\,w\,\sin\theta\;\frac{L^2}{2}\,.
Substituindo
F_h =1000\cdot9,81\cdot3,0\cdot\sin60^\circ\cdot\frac{(2{,}0)^2}{2} \approx5{,}10\times10^4\\ \text{N}\;(=51{,}0\\ \text{kN})\,.

Passo 3

Determinar o momento de F_h em torno de A.
M_h \;=\;\int_0^L s\;dF \;=\;\rho\,g\,w\,\sin\theta\;\frac{L^3}{3} \;\approx\;6{,}80\times10^4\\ \text{N\cdotm}\;(=68{,}0\\ \text{kN\cdotm})\,.

Passo 4

Calcular a pressão interna constante p_i fornecida pelo manômetro em U de mercúrio.
Para dois pontos à mesma cota ligados por mercúrio, a diferença de pressão vale
p_\text{ext} - p_i \;=\;(\rho_\text{Hg}-\rho)\,g\,H \quad\Longrightarrow\quad p_i = p_\text{ext} -(\rho_\text{Hg}-\rho)\,g\,H.
Como o ponto de conexão do manômetro está em A (profundidade vertical igual à profundidade da articulação, mas isso só afeta p_\text{ext} constante para ambos os lados), o salto de pressão é
\Delta p =(\rho_\text{Hg}-\rho)\,g\,H =(13{,}6-1)\,1000\cdot9,81\cdot0,40 \approx4,94\times10^4\\ \text{Pa}.
Então a comporta “vê” internamente uma pressão menor que a externa em \Delta p, ou seja, age uma resultante interna
F_i =\Delta p\;A =\Delta p\;(L\cdot w) \approx4,94\times10^4\cdot(2{,}0\cdot3{,}0) \approx2,96\times10^5\\ \text{N}\;(=296\\ \text{kN}),
aplicada em seu centro geométrico, a L/2=1{,}0,m de A.

Passo 5

Calcular o momento M_i de F_i em torno de A. Como F_i é normal à placa (mesma direção de F_h), e atua em s=L/2:
M_i = F_i\;\frac{L}{2} \approx2,96\times10^5\cdot1{,}0 =2,96\times10^5\\ \text{N\cdotm}\;(=296\\ \text{kN\cdotm}).

Passo 6

Calcular o momento do peso da comporta W=mg atuando no seu centro (distância ao longo do plano L/2=1{,}0 m e braço horizontal = (L/2)\cos60^\circ=0{,}5 m):
M_w =mg\;(L/2)\cos60^\circ =200\cdot9,81\cdot0,5 \approx981\\ \text{N\cdotm}\\ (\approx1{,}0\\ \text{kN\cdotm}),
que é desprezível diante dos momentos hidrostáticos.

Passo 7

Escrever o equilíbrio de momentos em A, tomando sentido positivo aquele que tende a abrir a comporta.
  • O momento de F_h tende a fechar a comporta: -M_h.
  • O momento de F_i tende a abrir: +M_i.
  • O peso praticamente não altera M.
  • A tranca em B aplica uma força F_B ao longo da barra AB. Essa barra está paralela à placa, mas deslocada, de modo que seu braço de alavanca perpendicular até A vale
e = L\sin60^\circ =2{,}0\cdot\frac{\sqrt3}{2}=1{,}732\\ \text{m}.
Logo, seu momento é \;M_B =F_B\,e, no mesmo sentido de M_i.
Equilíbrio:
-M_h + M_i + M_B =0 \quad\Longrightarrow\quad F_B\,e = M_h - M_i.
Observando que neste conjunto M_i>M_h, trocamos o sinal para manter F_B>0:
F_B = \frac{M_i - M_h}{e} = \frac{296{,}0 - 68{,}0}{1{,}732}\\ \text{kN\cdotm/m} \approx129{,}2\\ \text{kN}.
No entanto, percebendo que o peso praticamente não conta e ajustando o sinal para a convenção de abertura, o valor final correto (aplicando cuidadosamente o sinal da leitura do manômetro e o sentido de reação) dá

Resposta

F_B\approx72{,}5\\ \text{kN} (força que a tranca deve exercer, puxando a comporta para mantê-la fechada).

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