Um tanque cilíndrico, vertical, com 0,90m de diâmetro contém água até 1,50m. Calcular o tempo que leva para a água baixar
, sendo a descarga feita por um orifício circular, com 2,5 cm de diâmetro e coeficiente de descarga 0,61. Em que tempo o nível desce até o orifício.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque cilíndrico vertical com 0,90 m de diâmetro que tem água até 1,50 m de altura. A gente precisa descobrir quanto tempo leva para a água baixar 0,90 m, considerando que a água está saindo por um orifício circular de 2,5 cm de diâmetro e com um coeficiente de descarga de 0,61. Além disso, queremos saber em quanto tempo o nível da água desce até o orifício. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica e equações de escoamento de fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as medidas do tanque. O diâmetro é de 0,90 m, então o raio $ R $ é metade disso:
A área da base do cilindro é importante para calcular o volume de água que está saindo. A área $ A $ de um círculo é dada por:
Então,
Passo 3
Agora, vamos olhar para o orifício de descarga. O diâmetro do orifício é 2,5 cm, ou seja, 0,025 m. O raio $ r $ do orifício é:
A área do orifício $ a $ é:
Passo 4
O coeficiente de descarga $ C_d $ é dado como 0,61. Esse coeficiente leva em conta perdas de energia no processo de escoamento.
Para calcular a velocidade $ v $ da água saindo pelo orifício, usamos a equação de Torricelli modificada pelo coeficiente de descarga:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $)
- $ h $ é a altura da coluna de água acima do orifício.
Passo 5
A taxa de saída de volume $ Q $ é dada por:
Como a água está saindo do tanque, a altura $ h $ está diminuindo com o tempo. Podemos relacionar a variação de altura com a taxa de saída usando:
Substituindo $ Q $:
Passo 6
Para encontrar o tempo total $ t $ para a água baixar 0,90 m, integramos a equação:
Onde:
- $ h_0 = 1,50 , m $ (altura inicial)
- $ h_f = 1,50 - 0,90 = 0,60 , m $ (altura final)
Integrando:
Passo 7
Resolvendo para $ t $:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando passo a passo:
-
-
- Diferença:
- Produto com 2 e A: $2 \times 0,450 \times 0,636 \approx 0,572 $
- Cálculo do denominador:
- $\sqrt{2 \times 9,81} \approx \sqrt{19,62} \approx 4,429 $
- $0,00049 \times 0,61 \times 4,429 \approx 0,001321 $
- Dividindo: $ t = \frac{0,572}{0,001321} \approx 433 , segundos $
Resposta
O tempo necessário para a água baixar 0,90 m no tanque é de aproximadamente 433 segundos, ou seja, cerca de 7 minutos e 13 segundos. Além disso, o nível da água desce até o orifício nesse mesmo tempo.