A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta. Calcule a velocidade média dos átomos de He nas temperaturas 77 K

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a velocidade média dos átomos de He na temperatura 77\\ \text{K}.”
Informações dadas:
  • Temperatura: T=77\\ \text{K}.
  • Gás: hélio atômico (He), massa atômica aproximada 4\\ \text{u} (quatro unidades de massa atômica).
Objetivo claro: encontrar a velocidade média (média aritmética das velocidades de todas as partículas, no sentido da teoria cinética — ver definição no Passo 2) dos átomos de hélio a 77\\ \text{K}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (aula rápida, sem jargões): na teoria cinética dos gases, as velocidades das partículas seguem a distribuição de Maxwell–Boltzmann. Existem três velocidades típicas que aparecem com frequência:
  • velocidade mais provável: v_{\text{mp}}=\sqrt{\dfrac{2kT}{m}},
  • velocidade média (média aritmética das magnitudes das velocidades): \bar{v}=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}},
  • velocidade quadrática média (rms): v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}.
O enunciado pede explicitamente “velocidade média”, então usaremos a fórmula
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{v} = velocidade média que queremos (em \text{m/s});
  • k = constante de Boltzmann, k=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K};
  • T = temperatura absoluta em kelvin ( \text{K});
  • \pi = 3,14159265…;
  • m = massa de uma partícula (aqui, massa de um átomo de He) em quilogramas ( \text{kg}).

Passo 3

Calcular a massa de um átomo de hélio em \text{kg} (aula curta sobre unidades): a massa atômica do He é aproximadamente 4\\ \text{u}, onde 1\\ \text{u}=1,66053906660\times10^{-27}\\ \text{kg}. Logo
m = 4 \times 1,66053906660\times10^{-27}\\ \text{kg} = 6,6421562664\times10^{-27}\\ \text{kg}.
Para os cálculos de prova pode-se arredondar para
m \approx 6,642\times10^{-27}\\ \text{kg}.

Passo 4

Agora montamos a expressão numérica da fórmula. Primeiro calculemos o numerador 8kT:
8kT = 8 \times \left(1,380649\times10^{-23}\right)\times 77.
Fazendo as contas (passo a passo):
1,380649\times77 = 106,309973,
8\times106,309973 = 850,479784,
portanto
8kT = 850,479784\times10^{-23}\\ \text{J} = 8,50479784\times10^{-21}\\ \text{J}.
Dividimos por \pi:
\frac{8kT}{\pi} = \frac{8,50479784\times10^{-21}}{3,14159265} \approx 2,707648\times10^{-21}\\ \text{J}.
Agora dividimos por m:
\frac{8kT}{\pi m} \approx \frac{2,707648\times10^{-21}}{6,6421562664\times10^{-27}}.
Calcule a razão (fazendo a separação mantida de mantissa e potência de 10):
\frac{2,707648}{6,6421562664}\approx 0,407588,
e a potência de 10 resulta em 10^{6} (pois -21 - (-27)=6), então
\frac{8kT}{\pi m} \approx 0,407588\times10^{6} = 4,07588\times10^{5}\\ \left(\text{m}^2/\text{s}^2\right).

Passo 5

Tire a raiz quadrada para obter \bar{v}:
\bar{v}=\sqrt{4,07588\times10^{5}}\\ \text{m/s}.
Podemos separar:
\sqrt{4,07588\times10^{5}}=\sqrt{4,07588}\times\sqrt{10^{5}}\approx 2,019\times316,22777\approx 638,4\\ \text{m/s}.
Arredondando de forma razoável para uma prova, fica
\bar{v}\approx 638\\ \text{m/s}.
Comentário prático rápido (motivação): essa velocidade média é bem menor que a velocidade de escape da Terra ( \sim 11{,}2\times10^{3}\\ \text{m/s}), mas como a distribuição de velocidades tem cauda, algumas poucas partículas podem atingir velocidades maiores e, ao longo de muito tempo, gases leves como o He tendem a escapar de atmosferas rasas.

Resposta

638\\ \text{m/s}

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