Uma composição de metrô deslocava-se com a velocidade máxima permitida de 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, para que fosse cumprido o horário estabelecido para a chegada à estação A. Por questão de conforto e segurança dos passageiros, a aceleração (e desaceleração) máxima permitida, em móduio, é 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Experiente, o condutor começou a desaceleração constante no momento exato e conseguiu parar a composição corretamente na estação A, no horário esperado. Depois de esperar o desembarque e o embarque dos passageiros, partiu em direção à estação B, a próxima parada, distante 800 m da estação A. Para percorrer esse trecho em tempo mínimo, impôs à composição a aceleração e desaceleração máximas permitidas, mas obedeceu a velocidade máxima permitida. Utilizando as informações apresentadas, e considerando que a aceleração e a desaceleração em todos os casos foram constantes, calcule:
a) a distância que separava o trem da estação A, no momento em que o condutor começou a desacelerar a composição.
b) o tempo gasto para ir da estação A até a B.

Passo 1

O trem chega à estação A com velocidade máxima de 72,km/h e começa a desacelerar com aceleração constante de módulo 0,8,m/ s^{2}, parando exatamente em A. Depois parte do repouso, acelera com 0,8,m/ s^{2} até atingir de novo 72,km/h, mantém essa velocidade o quanto for preciso e, ao se aproximar de B, desacelera com -0,8,m/ s^{2} para parar precisamente em B. Vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado para encontrar:
a) a distância de frenagem antes de A;
b) o tempo total de A até B em que a distância entre as estações é 800,m.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade máxima para o SI:
72\text{ km/h} = 72 \times \frac{1000}{3600}\text{ m/s} = 20\text{ m/s}.

Passo 3

Para a parte (a), usamos a equação
v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta x
onde v=0, v_0=20,m/s e a=-0,8,m/ s^{2}. Logo,
0 = (20)^2 + 2\,( -0,8)\,\Delta x
2\cdot0,8\,\Delta x = 400
\Delta x = \frac{400}{1,6} = 250\text{ m}.

Passo 4

Para a parte (b), dividimos o percurso de 800,m em três fases:
  1. Aceleração de 0 a 20,m/s com a=0,8,m/ s^{2};
  2. Cruzeiro à velocidade constante 20,m/s;
  3. Desaceleração de 20 a 0 com a=-0,8,m/ s^{2}.
Na fase de aceleração, o tempo é
t_1 = \frac{\Delta v}{a} = \frac{20}{0,8} = 25\text{ s},
e a distância percorrida é
s_1 = \tfrac12\,a\,t_1^2 = \tfrac12 \cdot 0,8 \cdot 25^2 = 250\text{ m}.
Na fase de desaceleração o cálculo é análogo:
t_3 = 25\text{ s},\quad s_3 = 250\text{ m}.
Como s_1 + s_3 = 500,m, sobra
800 - 500 = 300\text{ m}
para percorrer em velocidade constante de 20,m/s, o que leva
t_2 = \frac{300}{20} = 15\text{ s}.

Passo 5

O tempo total de A até B é
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 + t_3 = 25 + 15 + 25 = 65\text{ s}.

Resposta

a) 250,m
b) 65,s

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