Um policial rodoviário, estacionado com uma MOTO às margens de uma estrada e munido de um radar, observa a passagem de uma FERRARI, cuja velocidade é registrada no aparelho como 108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Sendo de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a velocidade máxima permitida no local, o policial parte do repouso, no instante t=0 e com aceleração escalar constante de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, em perseguição à FERRARI que, nesse instante, já se encontra a 600 m de distância. Se a máxima velocidade que a MOTO pode imprimir é de 144 \mathrm{km} / \mathrm{h}, qual o menor intervalo de tempo gasto pelo policial para alcançar a FERRARI, supondo que a velocidade da mesma não se altera curante a perseguição?

Passo 1

O enunciado dá uma FERRARI com velocidade constante de 108\\ \mathrm{km/h} e um policial que parte do repouso em t=0, acelerando de forma constante com a=1{,}0\\ \mathrm{m/s^2} até atingir a velocidade máxima de 144\\ \mathrm{km/h}. No instante t=0, a Ferrari está 600\\ \mathrm{m} à frente. O objetivo é usar cinemática (movimento uniformemente acelerado e uniforme) e análise de movimento relativo para achar o menor tempo para o policial alcançar a Ferrari.

Passo 2

Convertendo as velocidades para o SI:
v_F = 108\\ \mathrm{km/h} = \frac{108\,000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 30\\ \mathrm{m/s},
v_{P,\max} = 144\\ \mathrm{km/h} = \frac{144\,000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o tempo que o policial leva para ir de 0 a v_{P,\max} com a=1{,}0\\ \mathrm{m/s^2}:
t_{\mathrm{acc}} = \frac{v_{P,\max}}{a} = \frac{40}{1{,}0}\\ \mathrm{s} = 40\\ \mathrm{s}.
A distância percorrida nessa fase é
s_{\mathrm{acc}} = \tfrac12\,a\,t_{\mathrm{acc}}^2 = \tfrac12 \cdot 1{,}0 \cdot 40^2 = 800\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Verificar se o policial alcança a Ferrari antes de t_{\mathrm{acc}}. A posição da Ferrari (referida ao ponto de partida do policial) é
x_F(t)=600 + v_F\,t = 600 + 30\,t,
e a do policial em aceleração é
x_P(t)=\tfrac12\,a\,t^2 = 0{,}5\,t^2.
Para haver encontro em t\le40, precisaríamos resolver
0{,}5\,t^2 = 600 + 30\,t,
cuja solução positiva é t\approx75{,}8\\ \mathrm{s}, maior que 40\\ \mathrm{s}. Portanto, o policial atinge primeiro a velocidade máxima sem ainda ter alcançado a Ferrari.

Passo 5

Na fase seguinte t>40\\ \mathrm{s}, o policial se move uniformemente a 40\\ \mathrm{m/s} e a Ferrari a 30\\ \mathrm{m/s}. Em t=40\\ \mathrm{s}, a separação é
\Delta s = x_F(40)-x_P(40) = (600+30\cdot40)-800 = 1800-800 = 1000\\ \mathrm{m}.
A velocidade relativa é
v_{\mathrm{rel}} = 40 - 30 = 10\\ \mathrm{m/s}.
O tempo para fechar essa distância é
t_2 = \frac{\Delta s}{v_{\mathrm{rel}}} = \frac{1000}{10} = 100\\ \mathrm{s}.
Logo, o tempo total para o policial alcançar a Ferrari é
t_{\mathrm{total}} = t_{\mathrm{acc}} + t_2 = 40 + 100 = 140\\ \mathrm{s}.

Resposta

O menor intervalo de tempo para o policial alcançar a Ferrari é 140\\ \mathrm{s}.

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