João está começando o cargo de Engenheiro Júnior. Ele decide aportar mensalmente uma parte do seu salário com o objetivo de ao final de 5 anos ter acumulado R 1.000.000,00
a) Qual o valor que ele deve aportar em um fundo de investimento imobiliário que rende 1,5% a.m.
b) Considerando que nos próximos 5 anos a inflação fique constante e igual a 8 \% a.a., \mathrm{R} \$ 1.000.000,00 em 2027 equivalerá a qual montante, em termos de poder de compra atualmente?

Passo 1

O enunciado dá duas situações e faz duas perguntas claras. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Pergunta (a): “Qual o valor que ele deve aportar mensalmente para ao final de 5 anos ter acumulado \mathrm{R}\$\,1.000.000,00 num fundo que rende 1{,}5\% ao mês?”
  • Pergunta (b): “Se a inflação for constante 8\% ao ano pelos próximos 5 anos, quanto equivale \mathrm{R}\$\,1.000.000,00 em 2027 em termos de poder de compra atual?”
Dados relevantes:
  • Objetivo (valor futuro): \mathrm{FV}=\mathrm{R}\$\,1.000.000,00.
  • Taxa de juros mensal: i=1{,}5\%=0{,}015 (por mês).
  • Prazo: 5 anos = n=5\cdot 12=60 meses.
  • Inflação anual para (b): j=8\%=0{,}08 ao ano.
  • Pressuposição necessária para (a): os aportes são mensais e, salvo indicação contrária no enunciado, vou assumir que cada aporte é feito ao final de cada mês (anuidade ordinária). Esta suposição será explicada e justificada nos próximos passos.

Passo 2

Escolhendo o método para (a) e explicando a suposição:
  • Quando se quer saber quanto aportar todo mês para atingir um montante ao final de vários meses, usamos a fórmula do valor futuro de uma anuidade (série de pagamentos iguais periódicos). Há duas variantes: anuidade ordinária (pagamentos no final do período) e anuidade devida (pagamentos no início). O problema não diz explicitamente quando João aporta, então eu escolho a anuidade ordinária (final do mês) porque é a suposição padrão em muitos exercícios e provas. Se João aportasse no início do mês, o resultado seria ligeiramente menor (pois cada aporte teria um mês a mais para render). Vou explicar a fórmula e como alterar caso seja anuidade devida, ok?

Passo 3

Derivando e explicando a fórmula do valor futuro da anuidade ordinária (aula rápida):
  • Conceito: fazemos aportes iguais PMT ao final de cada mês, durante n meses, à taxa mensal i. Cada aporte rende juros até o final do período final; a soma desses valores acumulados é o valor futuro \mathrm{FV}.
  • Fórmula (resultado conhecido que vou usar e explicar por que funciona):
\mathrm{FV} = PMT \cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \mathrm{FV}: valor futuro desejado ao final de n períodos (aqui \mathrm{R}\$\,1.000.000,00).
    • PMT: pagamento (aporte) periódico, que queremos calcular (valor por mês).
    • i: taxa de juros por período (aqui mensal 0{,}015).
    • n: número total de períodos (aqui 60 meses).
  • Intuição simples: a fração \dfrac{(1+i)^n-1}{i} é a soma geométrica dos fatores de acumulação de cada aporte; ela diz quantas vezes o valor do aporte PMT será multiplicado para compor a \mathrm{FV}.

Passo 4

Isolando PMT na fórmula (resolver algebricamente para encontrar quanto aportar):
A partir de
\mathrm{FV} = PMT \cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i},
isolamos PMT:
PMT = \mathrm{FV}\cdot \frac{i}{(1+i)^{n}-1}.
Aqui substituiremos \mathrm{FV}=\mathrm{R}\$\,1.000.000{,}00, i=0{,}015 e n=60.

Passo 5

Cálculo numérico de (a) — passo a passo mostrando como obter (1+i)^n sem pular etapas:
  1. Calcular (1+i)^{n} com i=0{,}015 e n=60.
    • Primeiro (1+i)=1{,}015.
    • Uma forma prática e didática de calcular (1{,}015)^{60} sem pular etapas é agrupar por 12 meses (ano composto mensalmente): (1{,}015)^{60} = \bigl((1{,}015)^{12}\bigr)^{5}.
    • Calcule (1{,}015)^{2}=1{,}030225.
    • Calcule (1{,}015)^{3}=1{,}045678375.
    • Calcule (1{,}015)^{6}=\bigl((1{,}015)^{3}\bigr)^{2}\approx 1{,}093456 (multiplicando 1{,}045678375 por si mesmo; estou arredondando algumas casas para manter clareza).
    • Calcule (1{,}015)^{12}=\bigl((1{,}015)^{6}\bigr)^{2}\approx 1{,}195635.
    • Finalmente (1{,}015)^{60}=\bigl(1{,}195635\bigr)^{5}\approx 2{,}44337.
    • Observação: usei multiplicações sucessivas e arredondamentos controlados; o resultado aproximado é (1{,}015)^{60}\approx 2{,}44337.
  2. Agora calcule o denominador (1+i)^{n}-1:
    (1{,}015)^{60}-1 \approx 2{,}44337-1 = 1{,}44337.
  3. Substituindo na fórmula de PMT:
    PMT = 1{.}000{.}000 \cdot \frac{0{,}015}{1{,}44337}.
    Primeiro calcule o numerador: 1{.}000{.}000\cdot 0{,}015 = 15{.}000.
    Agora divida:
    PMT \approx \frac{15{.}000}{1{,}44337} \approx 10{.}393{,}52.
    • Interpretação: João precisa aportar aproximadamente \mathrm{R}\$\,10.393{,}52 por mês (arredondando para centavos) se os aportes forem feitos no final de cada mês.
  4. Nota sobre anuidade devida (pagamento no início do mês): se os aportes fossem no início de cada mês, cada aporte teria um mês a mais para render. A relação é
    PMT_{\text{devida}} = PMT_{\text{ordinária}}\cdot \frac{1}{1+i}.á
    Com i=0{,}015, seria cerca de PMT_{\text{devida}}\approx10{.}393{,}52/(1{,}015)\approx10{.}238{,}31. Ou seja, pagar no início do mês reduz um pouco o aporte necessário.

Passo 6

Resumo interpretativo e dica prática para prova (motivação):
  • A estratégia central é conhecer a fórmula do valor futuro de uma anuidade e saber isolar PMT. Em prova, se você lembrar da forma \mathrm{FV} = PMT\cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}basta substituir e isolar. Se não lembrar, derive rapidamente somando cada termo da série geométrica (cada aporte multiplicado pelo fator de acumulação).
  • Dica: organize bem os passos de cálculo de (1+i)^n (agrupando por potências que você consegue calcular com calma) e controle arredondamentos só no final.

Passo 7

Começando a resposta da parte (b): transformar \mathrm{R}\$\,1.000.000{,}00 de 2027 para poder de compra atual dado inflação anual de 8\%:
  • Conceito: para trazer um valor futuro a preço de hoje (poder de compra atual), descontamos pela inflação. A fórmula é a do valor presente real:
\mathrm{PV} = \frac{\mathrm{FV}}{(1+j)^{t}},
onde
  • \mathrm{FV}=\mathrm{R}\$\,1.000.000{,}00 (valor nominal em 2027),
  • j=0{,}08 (inflação anual),
  • t=5 anos.

Passo 8

Cálculo numérico de (b) — passo a passo:
  1. Calcule (1+j)^{t}=(1{,}08)^{5}.
    • (1{,}08)^{2}=1{,}1664.
    • (1{,}08)^{4}=(1{,}1664)^{2}=1{,}36048996.
    • (1{,}08)^{5}=(1{,}08)^{4}\cdot (1{,}08)=1{,}36048996\cdot 1{,}08 = 1{,}469328. 2) Agora calcule o poder de compra atual: \[\mathrm{PV}=\frac{1{.}000{.}000}{1{,}469328}\approx 680{.}583{,}20.\] - Interpretação: \(\mathrm{R}\$\,1.000.000{,}00 em 2027 teria, com inflação acumulada de 8\% ao ano por 5 anos, um poder de compra equivalente a cerca de \mathrm{R}\$\,680.583{,}20 hoje.)

Passo 9

Conclusão motivacional e verificação rápida:
  • Resultado (a) diz quanto João precisa poupar por mês para atingir R$1.000.000 nominalmente em 5 anos ao rendimento dado (considerando aportes no final do mês). Resultado (b) mostra que, por causa da inflação, esse milhão em termos de poder de compra atual vale substancialmente menos.
  • Se estiver na dúvida na prova: escreva claramente a suposição (ordinária vs devida), mostre a fórmula, calcule (1+i)^n passo a passo (agrupando potências) e só então arredonde no final. Você já tem tudo para resolver exercícios parecidos — eu acredito em você, segue firme!

Resposta

(a) PMT \approx \mathrm{R}\$\,10.393{,}52 por mês (aporte mensal, considerando aportes no final de cada mês).
(b) Em poder de compra atual: \mathrm{R}\$\,680.583{,}20.

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