Um pai planeja comprar um carro no valor de
35.000,00
1,5 %$ para que possua a quantia desejada quando o filho terminar a faculdade.
Passo 1
O enunciado pede que o pai faça depósitos em um fundo para ter, ao final de
anos, a quantia de
. As informações dadas são:
O enunciado fala em “depósitos” (plural) e não especifica frequência, então vamos considerar depósitos iguais ao final de cada ano (uma anuidade ordinária) durante
anos. O objetivo é determinar o valor de cada depósito periódico que garante
ao final dos
anos.
Passo 2
Por que escolher o modelo de anuidade ordinária (depósitos iguais no final de cada ano)?
- O enunciado usa “depósitos” no plural e dá um prazo em anos; a escolha mais natural e básica é supor depósitos anuais iguais ao final de cada ano (anuidade ordinária).
- Se os depósitos fossem aplicados no início de cada período (anuidade devida) ou se fosse apenas um depósito único, os cálculos mudariam. Aqui a suposição mais simples e usual para exercícios assim é a anuidade ordinária.
Agora vamos usar a fórmula do valor futuro de uma anuidade ordinária.
Passo 3
Apresentação e explicação da fórmula que vamos usar.
Se
é o depósito feito no final de cada período,
é a taxa por período e
é o número de depósitos, o valor futuro (montante)
acumulado ao final do último período é dado por
Explicação das variáveis:
-
: quantia depositada no final de cada período (o que queremos achar). -
: taxa de juros por período, em forma decimal (por exemplo, vira ). -
: número de depósitos/períodos (aqui ).
Como essa fórmula surge (antecipação didática, passo a passo): cada depósito
aplicado no final do período
cresce até o fim do período
. Somando os futuros valores de todos os depósitos obtemos uma soma geométrica:
Essa soma é uma progressão geométrica com razão
e
termos; a soma de uma PG é
logo obtemos a fórmula do início. Então, para achar
isolamos:
Passo 4
Aplicando os números do problema.
Dados:
,
,
.
Calculemos
passo a passo (sem pular etapas):
Agora calculemos o denominador da fórmula:
Calcule o numerador
:
Agora isolamos
:
Fazendo a divisão (arredondando o resultado monetário para centavos):
Portanto, o depósito anual necessário, feito ao final de cada ano durante
anos, é aproximadamente
.
Passo 5
Verificação rápida (checar que o depósito encontrado devolve o montante desejado):
(Arredondamentos mínimos mostram que o resultado confere com o objetivo.)
Observação final e incentivo: se os depósitos fossem feitos no início de cada ano (anuidade devida), bastaria dividir o
encontrado por
para obter o valor necessário por depósito, que seria um pouco menor. Mas, com a hipótese usual de depósitos ao final de cada ano, o valor por depósito é
. Você está indo bem — calcular passo a passo assim é exatamente o que a prova costuma pedir!