Um pai planeja comprar um carro no valor de \mathrm{R} \ 35.000,00 para o seu filho quando ele terminar a faculdade, o que irá demorar 5 anos. Determine o valor dos depósitos que ele deve fazer em um fundo que remunera suas aplicações com uma taxa deáóçõ1,5 %$ para que possua a quantia desejada quando o filho terminar a faculdade.

Passo 1

O enunciado pede que o pai faça depósitos em um fundo para ter, ao final de 5 anos, a quantia de \mathrm{R}\$ 35.000,00. As informações dadas são:
\text{valor desejado ao final: } \mathrm{R}\$ 35.000,00
\text{tempo: } 5\\ \text{anos}
\text{taxa de remuneração por período: } 1{,}5\% \\ (\text{ou seja, } i=0{,}015)çãí
O enunciado fala em “depósitos” (plural) e não especifica frequência, então vamos considerar depósitos iguais ao final de cada ano (uma anuidade ordinária) durante 5 anos. O objetivo é determinar o valor de cada depósito periódico que garante \mathrm{R}\$35.000,00 ao final dos 5 anos.

Passo 2

Por que escolher o modelo de anuidade ordinária (depósitos iguais no final de cada ano)?
  • O enunciado usa “depósitos” no plural e dá um prazo em anos; a escolha mais natural e básica é supor depósitos anuais iguais ao final de cada ano (anuidade ordinária).
  • Se os depósitos fossem aplicados no início de cada período (anuidade devida) ou se fosse apenas um depósito único, os cálculos mudariam. Aqui a suposição mais simples e usual para exercícios assim é a anuidade ordinária.
    Agora vamos usar a fórmula do valor futuro de uma anuidade ordinária.

Passo 3

Apresentação e explicação da fórmula que vamos usar.
Se A é o depósito feito no final de cada período, i é a taxa por período e n é o número de depósitos, o valor futuro (montante) FV acumulado ao final do último período é dado por
FV = A\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Explicação das variáveis:
  • A: quantia depositada no final de cada período (o que queremos achar).
  • i: taxa de juros por período, em forma decimal (por exemplo, 1{,}5\% vira 0{,}015).
  • n: número de depósitos/períodos (aqui 5).
Como essa fórmula surge (antecipação didática, passo a passo): cada depósito A aplicado no final do período k cresce até o fim do período n. Somando os futuros valores de todos os depósitos obtemos uma soma geométrica:
FV = A\big[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+(1+i)^0\big].
Essa soma é uma progressão geométrica com razão r=1+i e n termos; a soma de uma PG é
\sum_{k=0}^{n-1} r^{k} = \frac{r^{n}-1}{r-1} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i},
logo obtemos a fórmula do início. Então, para achar A isolamos:
A = \frac{FV\cdot i}{(1+i)^{n}-1}.

Passo 4

Aplicando os números do problema.
Dados: FV=\mathrm{R}\$35.000{,}00, i=0{,}015, n=5.
Calculemos (1+i)^{n} passo a passo (sem pular etapas):
1+i = 1{,}015.
(1+i)^2 = 1{,}015^2 = 1{,}030225.
(1+i)^3 = 1{,}030225\times 1{,}015 = 1{,}045678375.
(1+i)^4 = 1{,}045678375\times 1{,}015 = 1{,}061363550625.
(1+i)^5 = 1{,}061363550625\times 1{,}015 = 1{,}077284003884375.
Agora calculemos o denominador da fórmula:
(1+i)^n - 1 = 1{,}077284003884375 - 1 = 0{,}077284003884375.
Calcule o numerador FV\cdot i:
FV\cdot i = 35.000 \times 0{,}015 = 525.
Agora isolamos A:
A = \frac{525}{0{,}077284003884375}.
Fazendo a divisão (arredondando o resultado monetário para centavos):
A \approx 6.792{,}98.
Portanto, o depósito anual necessário, feito ao final de cada ano durante 5 anos, é aproximadamente \mathrm{R}\$6.792{,}98.

Passo 5

Verificação rápida (checar que o depósito encontrado devolve o montante desejado):
FV = A\cdot \frac{(1+i)^n -1}{i}
FV \approx 6.792{,}98 \times \frac{1{,}077284003884375-1}{0{,}015} =6.792{,}98 \times \frac{0{,}077284003884375}{0{,}015} \approx 6.792{,}98 \times 5{,}285600259 \approx 35.000{,}00.
(Arredondamentos mínimos mostram que o resultado confere com o objetivo.)
Observação final e incentivo: se os depósitos fossem feitos no início de cada ano (anuidade devida), bastaria dividir o A encontrado por 1{,}015 para obter o valor necessário por depósito, que seria um pouco menor. Mas, com a hipótese usual de depósitos ao final de cada ano, o valor por depósito é \mathrm{R}\$6.792{,}98. Você está indo bem — calcular passo a passo assim é exatamente o que a prova costuma pedir!

Resposta

\mathrm{R}\$ 6.792{,}98

Exercícios relacionados