Um comprador de tijolos acha que a qualidade dos tijolos está diminuindo. De experiências anteriores, considera-se a resistência média ao desmoronamento de tais tijolos é igual a 200 kg , com um desvio padrão de 10 kg . Uma amostra de 100 tijolos, escolhidos ao acaso, forneceu uma média de 195 kg . Ao nível de significância de 5 %, pode-se afirmar que a resistência média ao desmoronamento diminuiu?

Passo 1

Então, temos um comprador de tijolos que está preocupado que a qualidade dos tijolos esteja piorando. Anteriormente, ele sabe que a resistência média ao desmoronamento desses tijolos era de 200 kg, com um desvio padrão de 10 kg. Recentemente, ele selecionou aleatoriamente 100 tijolos e descobriu que a resistência média agora é de 195 kg. A pergunta é: Com um nível de significância de 5%, podemos afirmar que a resistência média ao desmoronamento diminuiu?
Vamos resolver isso usando Teste de Hipóteses Estatísticas, que nos ajuda a decidir se há evidências suficientes nos dados da amostra para inferir algo sobre a população.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese Nula (H₀): A resistência média continua a ser 200 kg.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A resistência média diminuiu, ou seja, é menor que 200 kg.
Aqui, estamos interessados em saber se a média realmente diminuiu, não apenas mudou.

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população (10 kg) e temos uma amostra grande (100 tijolos), podemos usar o teste Z para comparar a média da amostra com a média conhecida da população.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste Z usando a fórmula:
Z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx = 195 kg (média da amostra)
  • mu0 = 200 kg (média da população sob H₀)
  • sigma = 10 kg (desvio padrão da população)
  • n = 100 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Z = 195 - 20010raiz100 = -51 = -5

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5% em um teste unilateral à esquerda (porque estamos testando se a média diminuiu).
Consultando a tabela Z, o valor crítico para 5% de significância em uma cauda é aproximadamente -1,645.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
-5 < -1,645
Como o nosso Z calculado (-5) é menor que o valor crítico (-1,645), rejeitamos a Hipótese Nula.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, há evidências suficientes para afirmar que a resistência média ao desmoronamento dos tijolos diminuiu.

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