Um estudo é realizado para determinar a relação entre uma certa droga e certa anomalia em embriões de frango. Injetou-se 50 ovos fertilizados com a droga no quarto dia de incubação. No vigésimo dia de incubação, os embriões foram examinados e 7 apresentaram a anomalia. Suponha que deseja-se averiguar se a proporção verdadeira é inferior a 25 % com um nível de significância de 0,05 .

Passo 1

Então, a gente tem um estudo que investiga se uma certa droga está relacionada com uma anomalia em embriões de frango. Foram injetados 50 ovos com a droga no quarto dia de incubação, e no vigésimo dia, 7 embriões apresentaram a anomalia. A pergunta é: será que a proporção verdadeira de anomalias é menor que 25%? Vamos usar a Estatística para descobrir isso, especificamente um teste de proporção com um nível de significância de 5% (0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar.
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção verdadeira de anomalias é igual a 25%, ou seja, $ p = 0,25 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção verdadeira de anomalias é menor que 25%, ou seja, $ p < 0,25 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada no nosso estudo. Nós tivemos 7 anomalias em 50 ovos, então:
p = 750 = 0,14
Isso significa que, na amostra, 14% dos embriões apresentaram a anomalia.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão mede a variabilidade da proporção amostral em relação à proporção verdadeira. A fórmula é:
EP = raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ p_0 = 0,25 $ (proporção sob a hipótese nula)
  • $ n = 50 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
p0 = 0,25

Passo 5

Vamos calcular o valor z, que indica quantos erros padrão a nossa proporção amostral está afastada da proporção sob a hipótese nula. A fórmula é:
z = p - p0EP
Substituindo os valores:
z = 0,14 - 0,250,0612 = -0,110,0612 approx -1,798

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico correspondente ao nível de significância de 5% para um teste unilateral (à esquerda). Olhando na tabela z, o valor crítico para $ \alpha = 0,05 $ é aproximadamente -1,645.

Passo 7

Comparamos o valor z calculado com o valor crítico:
  • Se $ z \leq -1,645 $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ z > -1,645 $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, $ z \approx -1,798 $ é menor que -1,645.

Resposta

Como o valor z calculado (-1,798) é menor que o valor crítico (-1,645), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que a proporção verdadeira de anomalias é inferior a 25% com um nível de significância de 5%.

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