A variável aleatória contínua X tem a seguinte função de densidade de probabilidade:
f(x)=l x12+k, se 0 <= x <= 3 0, para todos os outros valores de x
Sendo k uma constante, seu valor é igual a:
A 1
B 3 / 4
C 2 / 3
D 5 / 24
( 1 / 12

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos uma variável aleatória contínua f(x) = x12 + k, & se 0 <= x <= 3 0, & para todos os outros valores de x com uma função de densidade de probabilidade definida por:
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante . Para isso, vamos utilizar o conceito de que a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o seu intervalo deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiramente, lembramos que para qualquer função de densidade de probabilidade integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 , a seguinte condição deve ser satisfeita:
integral0^3 ( x12 + k ) dx = 1
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas no intervalo . Portanto, podemos simplificar a integral para esse intervalo:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^3 ( x12 + k ) dx = integral0^3 x12 , dx + integral0^3 k , dx
Calculando cada parte separadamente:

Passo 4

Somando as duas integrais:
38 + 3k = 1
Agora, vamos resolver para 3k = 1 - 38 = 88 - 38 = 58 :
k = 58 div 3 = 524

Resposta

O valor da constante é igual a .

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