Comprimento de arco
Considere a curva no espaço definida por:
r(t)=t i+t^2 j+ln (t) k, t in[1,2]
Calcule o comprimento da curva entre t=1 e t=2.
Dica: Use L=integrala^b|r^prime(t)| d t.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
vec r(t)=t,vec i+t^2,vec j+ln(t),vec k
para t de 1 a 2.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no espaço, e vamos usar a fórmula
L=integrala^bl|vec r,'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
vec r,'(t)=ddtl(t,t^2,ln tr) =(1,,2t,,1/t)
Em seguida, o módulo é
l|vec r,'(t)r| =raiz1^2+(2t)^2+l(1/tr)^2 =raiz1+4t^2+1t^2

Passo 3

Logo o comprimento de arco de t=1 até t=2 é
L =integral1^2raiz1+4t^2+1t^2,dt

Passo 4

Essa integral não possui primitiva elementar simples, mas podemos aproximá-la numericamente (por ex. pelo método de Simpson), obtendo
Lapprox3,25

Resposta

L=integral1^2raiz1+4t^2+1t^2,dtapprox3,25

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