Determine as derivadas parciais indicadas.
u=x y sec (x y) ; partial upartial x

Passo 1

Vamos resolver a derivada parcial de em relação a . Para isso, precisamos usar o conteúdo de derivadas parciais, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é o produto de duas funções: e . Vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Aplicando a Regra do Produto:
partial upartial x = partial (xy)partial x cdot sec(xy) + xy cdot partialpartial x sec(xy)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada de partial (xy)partial x = y em relação a partialpartial x sec(xy) = sec(xy) tan(xy) cdot partial (xy)partial x = sec(xy) tan(xy) cdot y :
Explicação: Aqui, tratamos como uma constante, então a derivada de é 1, multiplicada por .
  1. Derivada de em relação a :
Explicação: Usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é vezes a derivada de , onde . A derivada de em relação a é .

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas na expressão original:
partial upartial x = y cdot sec(xy) + xy cdot sec(xy) tan(xy) cdot y
Simplificando um pouco:
partial upartial x = y sec(xy) (1 + xy tan(xy))

Resposta

A derivada parcial de partial upartial x = y sec(xy) (1 + xy tan(xy)) em relação a é:

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