Qual o comprimento da curva dada por y=1+4 x^3 / 2, 118 <= x <= 19 (em u.c.) ?
(a) 154(10 raiz10-3 raiz3)
(d) 2243(10 raiz10-3 raiz3)
(b) 154(5 raiz5-3 raiz3)
(c) 154(10 raiz10-8)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = 1 + 4x^3/2, 118<= x<= 19,
usando a fórmula de comprimento de arco para função y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
dydx = 4 cdot 32,x^1/2 = 6raizx
Logo, dentro da raiz fica
1 + l(y'r)^2 = 1 + 36x

Passo 3

O comprimento é
L = integral1/18^1/9 raiz1 + 36x,dx

Passo 4

Fazemos a substituição
u = 1 + 36x, du = 36,dx, dx = du36,
e os limites se transformam em
x=tfrac118Rightarrow u=3, x=tfrac19Rightarrow u=5
Então
L = integralu=3^5 raizu,du36 = 136integral3^5 u^1/2,du

Passo 5

Calculando a integral:
136integral3^5 u^1/2,du = 136l[tfrac23u^3/2r]3^5 = 2108l(5^3/2-3^3/2r) = 154l(5raiz5-3raiz3r)

Resposta

A resposta correta é
154l(5raiz5-3raiz3r),
isto é, alternativa (b).

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