e pede o conjunto de pontos em que f é contínua. O conteúdo usado será continuidade de funções em R^2 e cálculo de limites via coordenadas polares.]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, logo sin(x^2+y^2) e x^2+y^2 são funções contínuas e o quociente de duas contínuas com denominador não nulo é contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Falta verificar continuidade em (0,0). Isso exige mostrar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =f(0,0)=1
Use coordenadas polares: defina r=raizx^2+y^2. Então
f(x,y) =sin(r^2)r^2
Como (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+, basta avaliar
limrto0^+sin(r^2)r^2
Fazendo t=r^2, tem-se tto0 e
sin(r^2)r^2 =sin tt longrightarrow1
Passo 4
Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0).