Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
f(x, y)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracsinl(x^2+y^2r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&(x,y)=(0,0),
e pede o conjunto de pontos em que f é contínua. O conteúdo usado será continuidade de funções em R^2 e cálculo de limites via coordenadas polares.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, logo sin(x^2+y^2) e x^2+y^2 são funções contínuas e o quociente de duas contínuas com denominador não nulo é contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Falta verificar continuidade em (0,0). Isso exige mostrar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =f(0,0)=1
Use coordenadas polares: defina r=raizx^2+y^2. Então
f(x,y) =sin(r^2)r^2
Como (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+, basta avaliar
limrto0^+sin(r^2)r^2
Fazendo t=r^2, tem-se tto0 e
sin(r^2)r^2 =sin tt longrightarrow1

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto de continuidade de f é todo R^2.

Exercícios relacionados