Seja S sólido de revolução obtido pela rotação da região delimitada pela curva y=raizx e pelas retas x=1 e y=0 em torno do eixo x.
Use o item (b) para calcular o volume de S.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido de revolução S obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=raizx, x=1 e y=0. Pelo enunciado anterior (item (b)), vamos usar o método das cascas cilíndricas, integrando em y.

Passo 2

Para usar cascas em y, note que:
  • A curva y=raizx implica x=y^2.
  • A região, em termos de y, vai de y=0 até y=1.
  • Em cada altura y, a casca cilíndrica vai de x=y^2 (lado interno) até x=1 (lado externo).

Passo 3

Em gênero de casca:
  • O raio da casca é y.
  • A altura (comprimento) da casca é
1 - y^2
Logo, o volume de uma casca elementar é
dV = 2pi times (raio) times (a<ura) , dy = 2pi,y,(1 - y^2),dy

Passo 4

Integramos de y=0 a y=1:
V = integral0^1 2pi,y,(1 - y^2),dy = 2pi integral0^1 l(y - y^3r),dy = 2pi l[tfracy^22 - tfracy^44r]0^1 = 2pil(tfrac12 - tfrac14r) = pi2

Resposta

V = pi2

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