Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
f(x, y)= 1e^r^2-1 & se r<1, r=|(x, y)| 0 & se r >= 1

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= dfrac1e^r^2-1 &se r<1,[6pt] 0 &se r>=1,
once r=|(x,y)|. O objetivo é encontrar todos os pontos (x,y) em que f é contínua. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em R^2 e o fato de que composições de funções contínuas são contínuas, além de verificar o comportamento na fronteira r=1.]

Passo 2

Considere qualquer ponto (x0,y0) tal que r0=|(x0,y0)|<1. Nesse caso, em uma pequena vizinhança de (x0,y0) ainda vale r<1, e
f(x,y)=1e^r^2-1=e^1-r^2
é composição das funções (x,y)mapsto r=|(x,y)|, rmapsto r^2, smapsto 1-s e tmapsto e^t, todas contínuas. Logo f é contínua em todo ponto com r<1.

Passo 3

Agora seja (x0,y0) com r0=|(x0,y0)|>1. Nessa região temos f(x,y)=0, uma constante. Portanto f é contínua em todo ponto com r>1.

Passo 4

Falta verificar a fronteira r=1. Para (x,y)to|(x,y)|=1 pela região interna r<1 temos
limrto1^-f(x,y) =limrto1^-e^1-r^2 =e^1-1 =1
Por outro lado, para qualquer ponto sobre a circunferência r=1 a definição atribui f(x,y)=0. Como o valor limite vindo de dentro ( 1) difere do valor da função ( 0), f é descontínua em todos os pontos com r=1.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é
(x,y)inR^2mid |(x,y)|neq1,
isto é, todos os pontos que não pertencem à circunferência de raio 1.

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