Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)= dfrac1e^r^2-1 &se r<1,[6pt] 0 &se r>=1,
once r=|(x,y)|. O objetivo é encontrar todos os pontos (x,y) em que f é contínua. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em R^2 e o fato de que composições de funções contínuas são contínuas, além de verificar o comportamento na fronteira r=1.]
Passo 2
Considere qualquer ponto (x0,y0) tal que r0=|(x0,y0)|<1. Nesse caso, em uma pequena vizinhança de (x0,y0) ainda vale r<1, e
f(x,y)=1e^r^2-1=e^1-r^2
é composição das funções (x,y)mapsto r=|(x,y)|, rmapsto r^2, smapsto 1-s e tmapsto e^t, todas contínuas. Logo f é contínua em todo ponto com r<1.
Passo 3
Agora seja (x0,y0) com r0=|(x0,y0)|>1. Nessa região temos f(x,y)=0, uma constante. Portanto f é contínua em todo ponto com r>1.
Passo 4
Falta verificar a fronteira r=1. Para (x,y)to|(x,y)|=1 pela região interna r<1 temos
limrto1^-f(x,y) =limrto1^-e^1-r^2 =e^1-1 =1
Por outro lado, para qualquer ponto sobre a circunferência r=1 a definição atribui f(x,y)=0. Como o valor limite vindo de dentro (1) difere do valor da função (0), f é descontínua em todos os pontos com r=1.
Resposta
O conjunto de continuidade de f é
(x,y)inR^2mid |(x,y)|neq1,
isto é, todos os pontos que não pertencem à circunferência de raio 1.