EXTRA (3 pts) Use o Teorema da comparação para mostrar que integral1^+infty 1+e^-xx d x diverge.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a integral integral1^+infty 1 + e^-xx dx diverge usando o Teorema da Comparação. Isso está relacionado ao estudo de funções que crescem ou decaem no infinito e como comparar integrais para saber se elas somam para um valor finito ou infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: 1 + e^-xx. Note que e^-x é uma função que decai para zero quando x aumenta. Então, para valores grandes de x, 1 + e^-x está próxima de 1.

Passo 3

Como 1 + e^-x > 1 para todo x > 0, podemos afirmar que:
1 + e^-xx > 1x
Isso nos permite comparar nossa integral com a integral de 1x.

Passo 4

Sabemos que a integral integral1^+infty 1x dx é uma integral conhecida que diverge. Ou seja, ela tende para infinito.

Passo 5

Usando o Teorema da Comparação, se temos duas funções f(x) e g(x) onde f(x) >= g(x) para todo x no intervalo considerado, e se integral g(x) dx diverge, então integral f(x) dx também diverge.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso:
  • f(x) = 1 + e^-xx
  • g(x) = 1x
Como f(x) > g(x) e integral1^+infty g(x) dx diverge, então integral1^+infty f(x) dx também diverge.

Resposta

Portanto, usando o Teorema da Comparação, mostramos que a integral integral1^+infty 1 + e^-xx dx diverge.

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