EXTRA (3 pts) Use o Teorema da comparação para mostrar que
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a integral
diverge usando o Teorema da Comparação. Isso está relacionado ao estudo de funções que crescem ou decaem no infinito e como comparar integrais para saber se elas somam para um valor finito ou infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. Note que
é uma função que decai para zero quando
aumenta. Então, para valores grandes de
,
está próxima de 1.
Passo 3
Como
para todo
, podemos afirmar que:
Isso nos permite comparar nossa integral com a integral de
.
Passo 4
Sabemos que a integral
é uma integral conhecida que diverge. Ou seja, ela tende para infinito.
Passo 5
Usando o Teorema da Comparação, se temos duas funções
e
onde
para todo
no intervalo considerado, e se
diverge, então
também diverge.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso:
Como
e
diverge, então
também diverge.
Resposta
Portanto, usando o Teorema da Comparação, mostramos que a integral
diverge.