Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave emite luz com um comprimento de onda de 450 nm de acordo com os passageiros. Determine (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela ou vermelha) da luz emitida pela nave do ponto de vista de um observador terrestre.

Passo 1

O enunciado diz que uma espaçonave se afasta da Terra com velocidade v=0,20\,c e, na referência da nave, uma fonte emite luz com comprimento de onda \lambda_0=450\,\text{nm}. Da Terra, devido ao efeito Doppler relativístico para recuo, a gente vai observar um desvio para o vermelho. O conteúdo aqui é o efeito Doppler relativístico da luz; vamos precisar de \beta=v/c e da fórmula que relaciona \lambda_{\rm obs} a \lambda_0.

Passo 2

No efeito Doppler relativístico, para uma fonte que se afasta, a frequência observada f_{\rm obs} e a emitida f_0 satisfazem
f_{\rm obs} = f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},
onde \beta = v/c. Como \lambda = c/f, inverte-se a relação para os comprimentos de onda:
\lambda_{\rm obs} = \lambda_0\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.

Passo 3

Substituindo \beta=0,20 e \lambda_0=450\,\text{nm}:
\lambda_{\rm obs} =450\,\text{nm}\;\sqrt{\frac{1+0,20}{1-0,20}} =450\,\text{nm}\;\sqrt{\frac{1,20}{0,80}} =450\,\text{nm}\;\sqrt{1,5} \approx450\,\text{nm}\times1{,}225 \approx551\,\text{nm}.

Passo 4

Para identificar a cor, usamos as faixas típicas do espectro visível:
– Azul: 450\text{–}495,nm
– Verde: 495\text{–}570,nm
– Amarelo: 570\text{–}590,nm
– Vermelho: acima de 620,nm
Como \lambda_{\rm obs}\approx551\,\text{nm} cai na faixa 495\text{–}570,nm, a cor vista da Terra é verde.

Resposta

(a) \lambda_{\rm obs}\approx551\,\text{nm}.
(b) A cor observada é verde.

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