Um relógio está se movendo ao longo do eixo x com uma velocidade de 0,600 c e indica o instante t=0 ao passar pela origem. (a) Calcule o fator de Lorentz do relógio. (b) Qual é a leitura do relógio ao passar pelo ponto x=180 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado descreve um relógio que, no referencial S, move-se ao longo do eixo x com velocidade v = 0{,}600\,c. No instante t=0 em S, o relógio coincide com x=0 e marca zero.
Conteúdo: relatividade restrita, fator de Lorentz e dilatação de tempo (tempo próprio versus tempo em S).

Passo 2

Calculamos o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \bigl(v/c\bigr)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}600)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = 1{,}25.

Passo 3

No referencial S, o relógio percorre x=180,m com velocidade v=0{,}6\,c. O tempo decorrido em S é
\Delta t = \frac{x}{v} = \frac{180}{0{,}6 \times 3{,}0\times10^8} = 1{,}0\times10^{-6}\;\mathrm{s}.

Passo 4

A leitura do relógio em seu próprio referencial (tempo próprio \tau) sofre dilatação de tempo segundo
\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{1{,}25} = 8{,}0\times10^{-7}\;\mathrm{s}.

Resposta

(a) \gamma = 1{,}25
(b) O relógio marca 8{,}0\times10^{-7}\,\mathrm{s} ao passar por x=180,m no referencial S.

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