O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
9. Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo, com resistências R1, R2 e R3, então
1R=1R1+1R2+1R3
Se as resistências são medidas em ohms como R1=25 Omega, R2=40 Omega e R3=50 Omega, com margem de erro de 0,5 % em cada uma, estime o erro máximo no valor calculado de R.

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de estimativa de erro usando diferenciais: primeiro, o erro máximo na área de um retângulo com medidas aproximadas, e depois o erro na resistência equivalente de três resistores em paralelo. Vamos usar diferenciais e a teoria de erros: para funções de várias variáveis, a variação aproximada é dada pela soma das derivadas parciais vezes as pequenas variações nas variáveis.

Passo 2

Para o retângulo, a área é dada por A=Lcdot W. Aplicando diferenciais, temos
dA = W,dL + L,dW
Como as medidas são L=30,cm, W=24,cm e os erros máximos são |dL|=|dW|=0,1,cm, o erro máximo aproximado é
|dA| <= 24cdot0,1 + 30cdot0,1 = 2,4 + 3 = 5,4,cm^2

Passo 3

No segundo problema, a resistência equivalente R satisfaz
1R = 1R1 + 1R2 + 1R3
Cada resistência Ri tem erro relativo de 0,5%, ou seja dRi = 0,005,Ri. Usamos diferenciação implícita:
-dl(1Rr) = -dRR^2 = -dR1R1^2 - dR2R2^2 - dR3R3^2
Multiplicando por -1 e isolando dR
dRR^2 = dR1R1^2 + dR2R2^2 + dR3R3^2,
ou seja
dR = R^2l(dR1R1^2 + dR2R2^2 + dR3R3^2r)

Passo 4

Agora calculamos valores numéricos. Primeiro,
1R = 125 + 140 + 150 = 0,085,
logo R approx 11,7647,Omega. Os erros absolutos são
dR1=0,125,Omega, dR2=0,2,Omega, dR3=0,25,Omega. Então
dR1R1^2 + dR2R2^2 + dR3R3^2 = 0,125/625 + 0,2/1600 + 0,25/2500 = 0,000425
Como R^2approx138,89, temos
dR approx 138,89times0,000425 approx 0,059,Omega

Resposta

Erro máximo na área: aproximadamente 5,4 cm²; erro máximo na resistência equivalente: aproximadamente 0,06 Ω.

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