Sejam z=y e^x+x e^y, x(t)=cos (t), e y=sin (t).
Determine d zd t de dois modos:
(a)usando a regra da cadeia
(b)determinando a função composta z(t) e derivando em relação a t

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
z = y,e^x + x,e^y
e as parametrizações
x(t)=cos t, y(t)=sin t
Queremos encontrar dzdt de duas formas:
(a) aplicando a regra da cadeia para funções multivariadas,
(b) compondo explicitamente z(t) e derivando em relação a t.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, calculamos primeiro as derivadas parciais de z e as derivadas das parametrizações:
partial zpartial x = y,e^x + e^y, partial zpartial y = e^x + x,e^y,
dxdt=-sin t, dydt=cos t

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
Substituindo e usando x=cos t, y=sin t:
dzdt =(sin t,e^cos t+e^sin t)(-,sin t) +(e^cos t+cos t,e^sin t)cos t
Expandindo e reunindo termos:
dzdt =-sin^2 t,e^cos t+cos t,e^cos t -sin t,e^sin t+cos^2 t,e^sin t

Passo 4

Agora compomos diretamente z(t) e derivamos:
z(t)=sin t,e^cos t+cos t,e^sin t
Para o primeiro termo:
ddtl(sin t,e^cos tr) =cos t,e^cos t +sin t,e^cos t(-sin t) =cos t,e^cos t-sin^2 t,e^cos t
Para o segundo termo:
ddtl(cos t,e^sin tr) =-sin t,e^sin t +cos t,e^sin tcos t =-sin t,e^sin t+cos^2 t,e^sin t
Somando, obtemos exatamente
dzdt =-sin^2 t,e^cos t+cos t,e^cos t -sin t,e^sin t+cos^2 t,e^sin t

Passo 5

Confrontando os dois métodos, vemos que o resultado coincide.

Resposta

dzdt =-sin^2 t,e^cos t+cos t,e^cos t -sin t,e^sin t+cos^2 t,e^sin t

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