Sejam
, e
.
Determine
de dois modos:
(a)usando a regra da cadeia
(b)determinando a função composta
e derivando em relação a t
Determine
(a)usando a regra da cadeia
(b)determinando a função composta
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
e as parametrizações
Queremos encontrar
de duas formas:
(a) aplicando a regra da cadeia para funções multivariadas,
(b) compondo explicitamente e derivando em relação a
.
(a) aplicando a regra da cadeia para funções multivariadas,
(b) compondo explicitamente
Passo 2
Para usar a regra da cadeia, calculamos primeiro as derivadas parciais de
e as derivadas das parametrizações:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo e usando
,
:
Expandindo e reunindo termos:
Passo 4
Agora compomos diretamente
e derivamos:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando, obtemos exatamente
Passo 5
Confrontando os dois métodos, vemos que o resultado coincide.