Se o potencial elétrico em um dado ponto é igual a zero, o campo elétrico nesse ponto tem de ser igual a zero?
Passo 1
O enunciado pergunta se, quando o potencial elétrico num dado ponto tem valor igual a zero, o campo elétrico nesse mesmo ponto necessariamente também tem de ser igual a zero.
Informações explícitas fornecidas: o valor do potencial elétrico em um ponto é . Não há outras informações sobre vizinhança, variação do potencial ou referência de potencial.
Informações explícitas fornecidas: o valor do potencial elétrico em um ponto é
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que são potencial e campo, e a relação matemática entre eles (sem assumir que você já decorou isso).
- O potencial elétrico é uma grandeza escalar que vamos chamar de
. Ele dá, em cada ponto , a energia potencial por unidade de carga colocada ali (relativa a alguma referência). - O campo elétrico é uma grandeza vetorial que vamos chamar de
. Ele indica a força por unidade de carga naquele ponto, tanto em direção quanto em intensidade.
A relação entre eles, quandoé diferenciável, é
Aqui
é o gradiente de
: um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
. Em coordenadas cartesianas,
Interpretação intuitiva importante: o campo elétrico em um ponto mede como o potencial muda quando você se afasta daquele ponto. Ou seja, depende das variações locais de
, não apenas do valor do próprio
naquele ponto.
Passo 3
Agora um ponto-chave de raciocínio: conhecer só o valor de uma função num ponto não determina suas derivadas nesse ponto. Exemplo simples em uma dimensão para tornar isso palpável. Considere a função
onde
é uma constante. Esta função é linear e bem comportada. Avaliando em
obtemos
Portanto o potencial em
é zero. Mas a derivada (o equivalente do gradiente em 1D) é
logo o campo elétrico em 1D é
Se
, então
. Conclusão a partir deste exemplo: é perfeitamente possível ter
num ponto e ainda assim ter
nesse ponto.
Passo 4
Dou outro exemplo físico, que muita gente encontra em provas: campo elétrico uniforme. Suponha um campo uniforme
com
constante e não nulo. Um potencial que gera esse campo é
onde
é uma constante arbitrária (a escolha da referência de potencial). Escolhendo
temos
em
, mas
. Isso mostra também que o valor absoluto de
depende de onde você escolhe o zero de referência, enquanto
não depende dessa escolha.
Passo 5
Agora explico quando, afinal, o campo vale zero. Pela relação
:
- Se
for constante numa região (ou seja, tem o mesmo valor para todos os pontos de uma vizinhança aberta), então nessa região e, portanto, ali. Ou seja, se é constante em torno do ponto, então o campo é nulo no ponto. - Mas saber apenas que
em um ponto não implica que seja constante em uma vizinhança de . As derivadas podem ser não nulas mesmo com o valor zero em um ponto isolado. Por isso não dá para concluir apenas pelo valor de naquele ponto.
Passo 6
Recapitulando, de forma curta e direta: o potencial ser zero em um ponto não garante que o campo elétrico seja zero nesse ponto. Para ter campo nulo é preciso que o potencial não varie (seja constante) na vizinhança do ponto, ou equivalentemente que todas as derivadas parciais de
ali sejam zero. Um jeito prático para a prova: se te dão só
, responda “não” e ofereça um contraexemplo simples como
ou o exemplo do campo uniforme.
Resposta
Não.