Se o potencial elétrico em um dado ponto é igual a zero, o campo elétrico nesse ponto tem de ser igual a zero?

Passo 1

O enunciado pergunta se, quando o potencial elétrico num dado ponto tem valor igual a zero, o campo elétrico nesse mesmo ponto necessariamente também tem de ser igual a zero.
Informações explícitas fornecidas: o valor do potencial elétrico em um ponto é 0. Não há outras informações sobre vizinhança, variação do potencial ou referência de potencial.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que são potencial e campo, e a relação matemática entre eles (sem assumir que você já decorou isso).
  • O potencial elétrico é uma grandeza escalar que vamos chamar de V(\mathbf{r}). Ele dá, em cada ponto \mathbf{r}, a energia potencial por unidade de carga colocada ali (relativa a alguma referência).
  • O campo elétrico é uma grandeza vetorial que vamos chamar de \mathbf{E}(\mathbf{r}). Ele indica a força por unidade de carga naquele ponto, tanto em direção quanto em intensidade.
    A relação entre eles, quando V é diferenciável, é
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}).
Aqui \nabla V é o gradiente de V: um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de V. Em coordenadas cartesianas,
\mathbf{E} = -\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Interpretação intuitiva importante: o campo elétrico em um ponto mede como o potencial muda quando você se afasta daquele ponto. Ou seja, depende das variações locais de V, não apenas do valor do próprio V naquele ponto.

Passo 3

Agora um ponto-chave de raciocínio: conhecer só o valor de uma função num ponto não determina suas derivadas nesse ponto. Exemplo simples em uma dimensão para tornar isso palpável. Considere a função
V(x) = a x,
onde a é uma constante. Esta função é linear e bem comportada. Avaliando em x=0 obtemos
V(0)=a\cdot 0=0.
Portanto o potencial em x=0 é zero. Mas a derivada (o equivalente do gradiente em 1D) é
\frac{dV}{dx} = a,
logo o campo elétrico em 1D é
E(x) = -\frac{dV}{dx} = -a.
Se a\neq 0, então E(0)=-a\neq 0. Conclusão a partir deste exemplo: é perfeitamente possível ter V=0 num ponto e ainda assim ter \mathbf{E}\neq\mathbf{0} nesse ponto.

Passo 4

Dou outro exemplo físico, que muita gente encontra em provas: campo elétrico uniforme. Suponha um campo uniforme
\mathbf{E} = E_0\,\hat{z},
com E_0 constante e não nulo. Um potencial que gera esse campo é
V(z) = -E_0 z + C,
onde C é uma constante arbitrária (a escolha da referência de potencial). Escolhendo C=0 temos V(0)=0 em z=0, mas \mathbf{E}(0)=E_0\,\hat{z}\neq\mathbf{0}. Isso mostra também que o valor absoluto de V depende de onde você escolhe o zero de referência, enquanto \mathbf{E} não depende dessa escolha.

Passo 5

Agora explico quando, afinal, o campo vale zero. Pela relação \mathbf{E}=-\nabla V:
  • Se V for constante numa região (ou seja, V tem o mesmo valor para todos os pontos de uma vizinhança aberta), então \nabla V=\mathbf{0} nessa região e, portanto, \mathbf{E}=\mathbf{0} ali. Ou seja, se V é constante em torno do ponto, então o campo é nulo no ponto.
  • Mas saber apenas que V(\mathbf{r}_0)=0 em um ponto \mathbf{r}_0 não implica que V seja constante em uma vizinhança de \mathbf{r}_0. As derivadas podem ser não nulas mesmo com o valor zero em um ponto isolado. Por isso não dá para concluir \mathbf{E}(\mathbf{r}_0)=\mathbf{0} apenas pelo valor de V naquele ponto.

Passo 6

Recapitulando, de forma curta e direta: o potencial ser zero em um ponto não garante que o campo elétrico seja zero nesse ponto. Para ter campo nulo é preciso que o potencial não varie (seja constante) na vizinhança do ponto, ou equivalentemente que todas as derivadas parciais de V ali sejam zero. Um jeito prático para a prova: se te dão só V(\mathbf{r}_0)=0, responda “não” e ofereça um contraexemplo simples como V(x)=a x ou o exemplo do campo uniforme.

Resposta

Não.

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