O comprimento de onda associado ao movimento de uma partícula elementar é igual a 0,01 \mathrm{~nm} e a velocidade de grupo associada à função de onda que descreve o movimento de partícula é 4 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule: (a) o momento linear da partícula ( \mathrm{em} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s} ), (b) a energia cinética da partícula (em elétron-volts).

Passo 1

O enunciado dá o comprimento de onda de Broglie \lambda = 0,01\,\mathrm{nm} e a velocidade de grupo v = 4\times10^{5}\,\mathrm{m/s}. Precisamos usar a relação de Broglie para obter o momento linear p e, em seguida, calcular a energia cinética clássica K. Vamos também lembrar que h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} e que 1\,\mathrm{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 2

A relação de Broglie diz que
\lambda = \frac{h}{p}
logo o momento linear é
p = \frac{h}{\lambda}.
Convertendo \lambda = 0{,}01\,\mathrm{nm} = 0{,}01\times10^{-9}\,\mathrm{m} = 1\times10^{-11}\,\mathrm{m}, temos
p = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{1\times10^{-11}} = 6{,}626\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

Para a energia cinética, como estamos em regime não relativístico, usamos
K = \frac{1}{2}mv^2.
Mas p = m v, então m = p/v e
K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}\biggl(\frac{p}{v}\biggr)v^2 = \frac{p\,v}{2}.
Substituindo p = 6{,}626\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s} e v = 4\times10^{5}\,\mathrm{m/s},
K = \frac{6{,}626\times10^{-23}\times4\times10^{5}}{2} = 1{,}3252\times10^{-17}\,\mathrm{J}.
Agora convertemos para elétron-volts:
K_{\mathrm{eV}} = \frac{1{,}3252\times10^{-17}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 82{,}7\,\mathrm{eV}.

Resposta

(a) p = 6{,}626\times10^{-23}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
(b) K \approx 8,27\times10^{1}\,\mathrm{eV}.

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