Uma partícula elementar possui massa de repouso igual a 3 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} e velocidade igual a 2 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Calcule o comprimento de onda associado a esta partícula. (b) Qual é a velocidade de grupo da partícula?

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula com massa de repouso m_{0}=3\times10^{-27}\,\text{kg} e velocidade v=2\times10^{5}\,\text{m/s}. Pede (a) o comprimento de onda de Broglie associado e (b) a velocidade de grupo da onda de matéria. Para isso, vamos usar que
1. o momento mecânico não relativístico é \,p=m_{0}v, já que v\ll c,
2. a relação de Broglie é \lambda=\frac{h}{p}, onde h é a constante de Planck,
3. a velocidade de grupo de uma onda livre satisfaz v_{g}=\frac{d\omega}{dk}, que coincide com a velocidade da partícula livre, v.

Passo 2

Calcular o momento mecânico não relativístico
p = m_{0}\,v = \bigl(3\times10^{-27}\,\text{kg}\bigr)\,\bigl(2\times10^{5}\,\text{m/s}\bigr) = 6\times10^{-22}\,\text{kg\cdotm/s}.

Passo 3

Usar a relação de Broglie para obter o comprimento de onda
\lambda \;=\;\frac{h}{p} \;=\;\frac{6,626\times10^{-34}\,\text{J\cdots}}{6\times10^{-22}\,\text{kg\cdotm/s}} \;\approx\;1{,}10\times10^{-12}\,\text{m}.

Passo 4

Reconhecer que, para onda livre de partícula não relativística, a velocidade de grupo coincide com a velocidade da partícula
v_{g} = v = 2\times10^{5}\,\text{m/s}.

Resposta

(a) \lambda\approx1{,}10\times10^{-12}\,\text{m}
(b) v_{g}=2\times10^{5}\,\text{m/s}

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