Um objeto com massa de 10 g realiza um movimento harmônico simples, com amplitude igual a 24 cm e período 4 s. Se o deslocamento em t
s é 24 cm, calcular: a posição do objeto no instante
.
Passo 1
Neste exercício, estamos lidando com Movimento Harmônico Simples (MHS). Temos um objeto de 10 g que oscila com uma amplitude de 24 cm e um período de 4 segundos. Sabemos que no tempo $ t = 0 $ segundos, o deslocamento é de 24 cm. Vamos usar as fórmulas do MHS para calcular a posição do objeto em $ t = 0,5 $ segundos. Precisaremos entender conceitos como amplitude, período e a equação do movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação geral do MHS:
onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial,
- $ t $ é o tempo,
- $ x(t) $ é a posição no tempo $ t $.
Passo 3
Sabemos que a amplitude $ A = 24 $ cm e o período $ T = 4 $ segundos. A frequência angular $ \omega $ é calculada por:
Substituindo:
Passo 4
No instante $ t = 0 $ s, o deslocamento é máximo ($ x(0) = 24 $ cm), o que indica que a fase inicial $ \phi = 0 $, pois $ \cos(0) = 1 $.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na equação do MHS para encontrar a posição em $ t = 0,5 $ s:
Simplificando o argumento do cosseno:
Então:
Passo 6
Calculamos o valor do cosseno de $ \frac{\pi}{4} $:
Portanto:
Resposta
A posição do objeto no instante $ t = 0,5 $ s é aproximadamente 17 cm.