Um objeto com massa de 10 g realiza um movimento harmônico simples, com amplitude igual a 24 cm e período 4 s. Se o deslocamento em t =0 s é 24 cm, calcular: a posição do objeto no instante t=0,5 s.

Passo 1

Neste exercício, estamos lidando com Movimento Harmônico Simples (MHS). Temos um objeto de 10 g que oscila com uma amplitude de 24 cm e um período de 4 segundos. Sabemos que no tempo $ t = 0 $ segundos, o deslocamento é de 24 cm. Vamos usar as fórmulas do MHS para calcular a posição do objeto em $ t = 0,5 $ segundos. Precisaremos entender conceitos como amplitude, período e a equação do movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação geral do MHS:
x(t) = A cos(omega t + phi)
onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ x(t) $ é a posição no tempo $ t $.

Passo 3

Sabemos que a amplitude $ A = 24 $ cm e o período $ T = 4 $ segundos. A frequência angular $ \omega $ é calculada por:
A = 24
Substituindo:
T = 4

Passo 4

No instante $ t = 0 $ s, o deslocamento é máximo ($ x(0) = 24 $ cm), o que indica que a fase inicial $ \phi = 0 $, pois $ \cos(0) = 1 $.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na equação do MHS para encontrar a posição em $ t = 0,5 $ s:
t = 0,5
Simplificando o argumento do cosseno:
x(0,5) = 24 cos(pi2 times 0,5)
Então:
pi2 times 0,5 = pi4

Passo 6

Calculamos o valor do cosseno de $ \frac{\pi}{4} $:
pi4
Portanto:
cos(pi4) = raiz22 approx 0,7071

Resposta

A posição do objeto no instante $ t = 0,5 $ s é aproximadamente 17 cm.

Exercícios relacionados