Considere um elétron livre com função de onda dada por psi(x)=A Sen(3,5 times 10^9 x), na qual x está em metros. Determine a energia total do elétron em eV .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função de onda de um elétron livre: psi(x) = A Sen(3,5 times 10^9 x). Nosso objetivo é encontrar a energia total desse elétron em elétron-volts (eV).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente relacionados à função de onda de partículas livres e à relação entre energia, momento e número de onda. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número de onda k na função de onda. A função está escrita como psi(x) = A Sen(k x), onde k = 3,5 times 10^9 , m^-1.
O número de onda k está relacionado ao comprimento de onda lambda pela fórmula:
k = 2pilambda
Mas, como já temos k, não precisamos calcular lambda aqui.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o número de onda k com o momento p do elétron. A relação é dada por:
p = hbar k
onde hbar é a constante de Dirac, que vale aproximadamente 1,054 times 10^-34 , J·s.
Vamos calcular o momento:
p = 1,054 times 10^-34 , J·s times 3,5 times 10^9 , m^-1 = 3,689 times 10^-25 , kg·m/s

Passo 4

Com o momento p conhecido, podemos calcular a energia cinética E do elétron usando a fórmula clássica:
E = p^22m
onde m é a massa do elétron, aproximadamente 9,109 times 10^-31 , kg.
Vamos calcular:
E = (3,689 times 10^-25 , kg·m/s)^22 times 9,109 times 10^-31 , kg = 1,360 times 10^-49 , kg^2m^2/s^21,8218 times 10^-30 , kg approx 7,46 times 10^-20 , J

Passo 5

Por fim, vamos converter a energia de joules para elétron-volts (eV). Sabemos que:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Portanto:
E = 7,46 times 10^-20 , J1,602 times 10^-19 , J/eV approx 0,466 , eV

Resposta

A energia total do elétron é aproximadamente 0,466 eV.

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