Um feixe de raio X de comprimento de onda 2,52 \mathrm{pm} incide sobre um elétron, em uma experiência de espalhamento Compton. Os raios X espalhados pelo alvo são detectados em um ângulo reto. Calcule:
a) Qual é o deslocamento Compton?
b) A energia do fóton espalhado?
c) A energia cinética de recuo do elétron que participa da colisão?

Passo 1

O enunciado trata de um espalhamento Compton em que um fóton de raio X com comprimento de onda \lambda=2{,}52\:\mathrm{pm} incide sobre um elétron e o fóton espalhado é detectado a 90^\circ. Precisamos usar duas fórmulas principais:
  1. Deslocamento de Compton
\Delta \lambda = \lambda_c\,(1-\cos\theta),
onde \lambda_c = \frac{h}{m_e c} é o comprimento de onda de Compton do elétron.
2. Relação entre energia e comprimento de onda do fóton
E = \frac{hc}{\lambda}.

Passo 2

Calculamos primeiro o comprimento de onda de Compton do elétron:
\lambda_c = \frac{h}{m_e c} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}}{(9{,}109\times10^{-31}\,\mathrm{kg})(3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s})} \approx2{,}426\times10^{-12}\,\mathrm{m}.
Para \theta=90^\circ temos \cos90^\circ=0, logo
\Delta \lambda = \lambda_c\,(1-0)=2{,}426\times10^{-12}\,\mathrm{m} =2{,}426\:\mathrm{pm}.

Passo 3

O comprimento de onda do fóton espalhado é
\lambda' = \lambda + \Delta\lambda =2{,}52\:\mathrm{pm}+2{,}426\:\mathrm{pm} =4{,}946\:\mathrm{pm} =4{,}946\times10^{-12}\,\mathrm{m}.
A energia desse fóton é
E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^8)}{4{,}946\times10^{-12}} \approx4{,}016\times10^{-14}\,\mathrm{J} \approx2{,}51\times10^5\,\mathrm{eV} =0{,}251\,\mathrm{MeV}.

Passo 4

A energia inicial do fóton era
E_0 = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^8)}{2{,}52\times10^{-12}} \approx7{,}882\times10^{-14}\,\mathrm{J} \approx4{,}92\times10^5\,\mathrm{eV} =0{,}492\,\mathrm{MeV}.
A energia cinética adquirida pelo elétron é a diferença
K_e = E_0 - E' \approx7{,}882\times10^{-14} - 4{,}016\times10^{-14} =3{,}866\times10^{-14}\,\mathrm{J} \approx2{,}41\times10^5\,\mathrm{eV} =0{,}241\,\mathrm{MeV}.

Resposta

a) \displaystyle \Delta\lambda\approx2{,}426\:\mathrm{pm}.
b) \displaystyle E'\approx4{,}016\times10^{-14}\:\mathrm{J}\approx0{,}251\:\mathrm{MeV}.
c) \displaystyle K_e\approx3{,}866\times10^{-14}\:\mathrm{J}\approx0{,}241\:\mathrm{MeV}.

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