2- O comprimento das peças produzidas por uma máquina são normalmente distribuídos. Uma amostra destas peças apresentou os seguintes valores em centímetros: 8, 75 ; 8,72 ; 8,73 ; 8,76 ; 8,78 ; 8,74 ; 8,73 ; 8,77 ; 8,74 ; 8,72 ; 8,76 e 8,75 . Obter um intervalo de 90 \% para o comprimento médio das peças produzidas por esta máquina.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=12 comprimentos de peças
\{8,75;8,72;8,73;8,76;8,78;8,74;8,73;8,77;8,74;8,72;8,76;8,75\}~cm,
assumindo distribuição normal com desvio padrão populacional desconhecido.
Queremos um intervalo de confiança de 90\% para a média \mu.
Como \sigma é desconhecido, usamos a distribuição t de Student com n-1=11 graus de liberdade.

Passo 2

Calculamos a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s.
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{104,95}{12} \approx 8,7458\text{ cm}
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 \approx \frac{0,0040916}{11} \approx 0,0003729 \quad\Rightarrow\quad s\approx0,01932\text{ cm}

Passo 3

O valor crítico para 90\% de confiança e 11 graus de liberdade é
t_{0,05,\,11}\approx 2,201.
O erro padrão da média é
\mathrm{EP} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,01932}{\sqrt{12}} \approx 0,00557\text{ cm}.
Portanto a margem de erro é
\mathrm{ME} = t_{0,05,\,11}\times \mathrm{EP} \approx 2,201\times0,00557 \approx0,0123\text{ cm}.

Passo 4

O intervalo de confiança de 90\% é dado por
\bar x \pm \mathrm{ME} \quad\Longrightarrow\quad 8,7458 \pm 0,0123.
Ou seja,
\bigl[\,8,7458-0,0123;\;8,7458+0,0123\,\bigr] =\bigl[\,8,7335;\,8,7581\,\bigr]\text{ cm}.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para o comprimento médio é
[\,8,7335;\;8,7581\,]\text{ cm}.

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