1- Um pesquisador está estudando a resistência ( Y ) de um material sob determinadas condições. Ele sabe que a resistência é normalmente distribuída com variância igual a 4 \mathrm{MPa}^{2} (Mega pascal). Foi extraída uma amostra aleatória de 10 corpos de prova obtendo-se os seguintes valores: 7, 9 ; 6,8 ; 5,4 ; 7,5 ; 7,9 ; 6,4 ; 8,0 ; 6,3 ; 4,4 ; 5,9.
a-) Calcular a estimativa pontual da média populacional, com base nesta amostra.
b-) Determinar o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 99 \%.
c-) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, não seja superior a 0,3 \mathrm{MPa} com 98 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado trata de estimar a média populacional da resistência Y de um material, sabendo que Y é normal com variância \sigma^2=4\\ \mathrm{MPa}^2. A amostra de tamanho n=10 fornece dados e queremos:
  1. A estimativa pontual da média (isto é, a média amostral \bar y).
  2. O intervalo de confiança de 99\% para \mu usando que a variância é conhecida e, portanto, a estatística pivô é normal padrão.
  3. O tamanho de amostra necessário para que a margem de erro não ultrapasse 0,3\\ \mathrm{MPa} com nível de confiança de 98\%.

Passo 2

Calculamos a média amostral: os valores são
7{,}9,\;6{,}8,\;5{,}4,\;7{,}5,\;7{,}9,\;6{,}4,\;8{,}0,\;6{,}3,\;4{,}4,\;5{,}9
A soma é
\sum_{i=1}^{10} y_i = 66{,}5
Logo
\bar y = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_i = \frac{66{,}5}{10} = 6{,}65\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Para o intervalo de confiança de 99\%, o quantil é z_{0{,}005}\approx 2{,}576. A margem de erro é
E = z_{0,005}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2{,}576\;\frac{2}{\sqrt{10}} \approx 1{,}63.
Portanto o intervalo é
\Bigl(\bar y - E,\;\bar y + E\Bigr) = (6{,}65 - 1{,}63,\;6{,}65 + 1{,}63) = (5{,}02,\;8{,}28)\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Queremos que a margem de erro seja E=0{,}3 com nível de confiança 98\%, cujo quantil é z_{0,01}\approx 2{,}326. Então exigimos
0{,}3 \ge z_{0,01}\,\frac{2}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad n \ge \Bigl(\frac{2{,}326\cdot 2}{0{,}3}\Bigr)^{2} \approx 240{,}5.
Arredondando para o inteiro superior, n=241.

Resposta

a) \bar y = 6{,}65\\ \mathrm{MPa}.
b) Intervalo de confiança de 99\%: (5{,}02,\;8{,}28)\\ \mathrm{MPa}.
c) Tamanho de amostra necessário: n = 241.

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