Qual é o comprimento do vetor v=(1,1, ldots, 1) em 9 dimensões? Encontre um vetor unitário u na mesma direção de v e um segundo vetor perpendicular a v.

Passo 1

O enunciado dá um vetor v=(1,1,dots,1) em R^9. Precisamos calcular a norma (comprimento) de v, em seguida obter um vetor unitário u na mesma direção de v e, por fim, encontrar um vetor não nulo w perpendicular a v. Para isso usaremos definição de norma de vetor, escalação de vetor para normalização e produto interno para verificar ortogonalidade.

Passo 2

A norma de v é dada por
|v| = raizsumi=1^9 1^2 = raiz9 = 3

Passo 3

Para obter o vetor unitário na direção de v basta dividir v pela sua norma:
u = v|v| = 13(1,1,dots,1)
Verificamos que |u|=1 por construção.

Passo 4

Escolhemos um vetor w cujos componentes somem zero, por exemplo
w = (1,,-1,,0,,0,,0,,0,,0,,0,,0)
Calculamos o produto interno com v:
vcdot w = 1cdot1 + 1cdot(-1) + 0 + cdots + 0 = 0,
logo w é perpendicular a v.

Resposta

|v| = 3 u = 13(1,1,dots,1) w = (1,-1,0,0,0,0,0,0,0)

Exercícios relacionados