Encontre vetores não-nulos u, v, w que sejam perpendiculares a (1,1,1,1) e entre si.

Passo 1

O enunciado pede três vetores não-nulos u,v,winR^4 tais que cada um seja ortogonal ao vetor (1,1,1,1) e mutuamente ortogonais entre si. Em outras palavras, buscamos uma base ortogonal do subespaço
S=(x,y,z,w)inR^4mid x+y+z+w=0

Passo 2

Escolhemos
u = (1,-1,0,0)
Para ver que uin S, calculamos
ucdot(1,1,1,1) = 1 - 1 + 0 + 0 = 0,
logo u é ortogonal a (1,1,1,1) e uneq0.

Passo 3

Agora pegamos
v = (1,1,-2,0)
Verificamos primeiro
vcdot(1,1,1,1) = 1 + 1 - 2 + 0 = 0,
então vin S. Em seguida, checamos a ortogonalidade com u:
ucdotv = 1cdot1 + (-1)cdot1 + 0cdot(-2) + 0cdot0 = 1 - 1 = 0,
logo uperpv.

Passo 4

Finalmente escolhemos
w = (1,1,1,-3)
Vemos que
wcdot(1,1,1,1) = 1 + 1 + 1 - 3 = 0,
logo win S. E também
ucdotw = 1cdot1 + (-1)cdot1 + 0cdot1 + 0cdot(-3) = 1 - 1 = 0,
vcdotw = 1cdot1 + 1cdot1 + (-2)cdot1 + 0cdot(-3) = 1 + 1 - 2 = 0
Assim w é ortogonal a u e a v.

Resposta

u=(1,-1,0,0), v=(1,1,-2,0), w=(1,1,1,-3)

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