Encontre vetores não-nulos v e w que sejam perpendiculares a (1,0,1) e entre si.

Passo 1

O enunciado pede dois vetores não-nulos v,winR^3 tais que
(1,0,1)cdotv=0,(1,0,1)cdotw=0,vcdotw=0
Usaremos a condição de ortogonalidade via produto escalar para construir v e w.

Passo 2

Procuramos v=(x,y,z) satisfazendo
(1,0,1)cdot(x,y,z)=x+0cdot y+z=0implies x+z=0
Basta escolher, por exemplo, x=1 e y=0; daí z=-1. Logo
v=(1,0,-1),
que é não-nulo e verifica (1,0,1)cdotv=1-1=0.

Passo 3

Agora tomemos w=(p,q,r) e imponhamos simultaneamente
(1,0,1)cdot(p,q,r)=p+r=0,
vcdot(p,q,r)=(1,0,-1)cdot(p,q,r)=p-r=0
Somando e subtraindo essas duas equações dá
2p=0implies p=0, 2r=0implies r=0,
deixando qneq0. Escolhendo q=1, obtemos
w=(0,1,0),
que satisfaz (1,0,1)cdotw=0 e vcdotw=0.

Resposta

v=(1,0,-1) e w=(0,1,0) são vetores não-nulos, ortogonais a (1,0,1) e entre si.

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