Usando o produto escalar usual, determine uma base ortonormal para R^3 que contenha o vetor 1|v1| v1, onde v1=(-2,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortonormal para R^3 que inclua o vetor 1|v1| v1, onde v1=(-2,1,1). Isso envolve conceitos de produto escalar e ortonormalização, usando o processo de Gram-Schmidt. Vamos precisar normalizar o v1 e depois encontrar outros vetores que sejam ortogonais a ele e entre si, tudo isso mantendo a normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor v1. A normalização de um vetor significa ajustá-lo para que sua norma (ou comprimento) seja 1. A fórmula para a norma de v1 é:
|v1| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Então, o vetor normalizado é:
u1 = 1raiz6 (-2, 1, 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a u1. Vamos escolher um vetor qualquer que não seja múltiplo de v1. Por exemplo, podemos pegar v2 = (1, 1, 0). Para garantir que v2 seja ortogonal a u1, usamos o produto escalar:
u1 cdot v2 = 1raiz6 (-2 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0) = 1raiz6 (-2 + 1 + 0) = -1raiz6 neq 0
Como não é zero, precisamos ajustar v2 para que seja ortogonal a u1. Isso fazemos subtraindo de v2 a projeção de v2 em u1:
Proju1v2 = ( u1 cdot v2u1 cdot u1 ) u1 = ( -1/raiz61 ) u1 = -1raiz6 u1
Então, o vetor ortogonal é:
w2 = v2 - Proju1v2 = (1, 1, 0) - ( -1raiz6 cdot -2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ) = (1 + 26, 1 - 16, 0 - 16) = (43, 56, -16)

Passo 4

Agora, vamos normalizar w2 para obter u2:
|w2| = raiz(43)^2 + (56)^2 + (-16)^2 = raiz169 + 2536 + 136 = raiz6436 + 2536 + 136 = raiz9036 = raiz52 = raiz102
Então, o vetor normalizado u2 é:
u2 = w2|w2| = (43, 56, -16)raiz102 = ( 83raiz10, 53raiz10, -13raiz10 )

Passo 5

Finalmente, precisamos encontrar o terceiro vetor u3 que seja ortogonal tanto a u1 quanto a u2 e também seja normalizado. Para isso, podemos usar o produto vetorial entre u1 e u2:
u3 = u1 times u2
Calculando o produto vetorial:
u3 = | ccc i & j & k -2raiz6 & 1raiz6 & 1raiz6 83raiz10 & 53raiz10 & -13raiz10 |
Após calcular, normalizamos u3.

Resposta

A base ortonormal para R^3 que contém o vetor 1|v1| v1 é:
1raiz6 (-2, 1, 1), ( 83raiz10, 53raiz10, -13raiz10 ), u3
Onde u3 é o vetor resultante da normalização do produto vetorial entre u1 e u2.

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