Usando o produto escalar usual, determine uma base ortonormal para que contenha o vetor , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base ortonormal para que inclua o vetor , onde . Isso envolve conceitos de produto escalar e ortonormalização, usando o processo de Gram-Schmidt. Vamos precisar normalizar o e depois encontrar outros vetores que sejam ortogonais a ele e entre si, tudo isso mantendo a normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o vetor . A normalização de um vetor significa ajustá-lo para que sua norma (ou comprimento) seja 1. A fórmula para a norma de é:
Então, o vetor normalizado é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um segundo vetor que seja ortogonal a . Vamos escolher um vetor qualquer que não seja múltiplo de . Por exemplo, podemos pegar . Para garantir que seja ortogonal a , usamos o produto escalar:
Como não é zero, precisamos ajustar para que seja ortogonal a . Isso fazemos subtraindo de a projeção de em :
Então, o vetor ortogonal é:
Passo 4
Agora, vamos normalizar para obter :
Então, o vetor normalizado é:
Passo 5
Finalmente, precisamos encontrar o terceiro vetor que seja ortogonal tanto a quanto a e também seja normalizado. Para isso, podemos usar o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Após calcular, normalizamos u3.
Resposta
A base ortonormal para R^3 que contém o vetor 1|v1| v1 é: