Seja T: C M2(R) dada por
T(x+i y)=(cc x+7 y & 5 y -10 y & x-7 y )
Té uma transformação linear?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função T que pega um número complexo x + i y e retorna uma matriz 2 times 2 com entradas reais. O conteúdo aqui é sobre transformações lineares, então vamos precisar saber o que define uma transformação linear para verificar se T satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função T entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(ku) = kT(u)
Aqui, u e v são vetores nos espaços envolvidos, e k é um número real (já que estamos trabalhando com matrizes reais).

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Suponha que temos dois números complexos z1 = x1 + i y1 e z2 = x2 + i y2 . A soma deles é z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) .
Aplicando T nessa soma:
T(z1 + z2) = T((x1 + x2) + i(y1 + y2)) = (x1 + x2) + 7(y1 + y2) & 5(y1 + y2) -10(y1 + y2) & (x1 + x2) - 7(y1 + y2)
Agora, vamos calcular T(z1) + T(z2) :
T(z1) + T(z2) = x1 + 7y1 & 5y1 -10y1 & x1 - 7y1 + x2 + 7y2 & 5y2 -10y2 & x2 - 7y2 = (x1 + x2) + 7(y1 + y2) & 5(y1 + y2) -10(y1 + y2) & (x1 + x2) - 7(y1 + y2)
Vemos que T(z1 + z2) = T(z1) + T(z2) , então a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja k um número real e z = x + i y . Aplicando T no escalar vezes o vetor:
T(kz) = T(kx + i ky) = kx + 7ky & 5ky -10ky & kx - 7ky = k x + 7y & 5y -10y & x - 7y = kT(z)
Então, T(kz) = kT(z) , o que confirma que a segunda propriedade também é válida.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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