Comprovar cada uma das seguintes regras de derivação para funções matriciais, supondo que P e Q são deriváveis. Em b) e d) não devem ser necessariamente do mesmo tamanho contanto que os produtos façam sentido. Em c) e d), Q se supõe não singular.
(P Q^-1)^prime=-P Q^-1 Q^prime Q^-1+P^prime Q^-1.

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra de derivação da função matricial
P(t),Q(t)^-1,
onde P e Q são matrizes de dimensão compatível e diferenciáveis em t, e Q(t) é invertível. Vamos usar duas ferramentas básicas de cálculo matricial: a regra do produto e a derivada da matriz inversa.

Passo 2

Derivamos primeiro a matriz inversa. Partimos da identidade
Q(t),Q(t)^-1 = I,
onde I é a matriz identidade. Diferenciando em t e usando a regra do produto em matrizes, obtemos
Q'(t),Q(t)^-1 + Q(t),l(Q(t)^-1r)' = 0
Isolando l(Q^-1r)', vem
Q(t),l(Q(t)^-1r)' = -,Q'(t),Q(t)^-1 Longrightarrow l(Q(t)^-1r)' = -,Q(t)^-1,Q'(t),Q(t)^-1

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto à função P(t),Q(t)^-1. Temos
l(P,Q^-1r)' = P',Q^-1 + P,l(Q^-1r)'

Passo 4

Substituindo a expressão de l(Q^-1r)' que achamos no Passo 2, obtemos
l(P,Q^-1r)' = P',Q^-1 + P l(-,Q^-1Q'Q^-1r) = P',Q^-1 ;-; P,Q^-1Q',Q^-1

Resposta

boxed l(P,Q^-1r)' = -,P,Q^-1,Q',Q^-1 ;+; P',Q^-1

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