Comprovar cada uma das seguintes regras de derivação para funções matriciais, supondo que
e
são deriváveis. Em b) e d) não devem ser necessariamente do mesmo tamanho contanto que os produtos façam sentido. Em c) e d),
se supõe não singular.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a regra de derivação da função matricial
onde
e
são matrizes de dimensão compatível e diferenciáveis em
, e
é invertível. Vamos usar duas ferramentas básicas de cálculo matricial: a regra do produto e a derivada da matriz inversa.
Passo 2
Derivamos primeiro a matriz inversa. Partimos da identidade
onde
é a matriz identidade. Diferenciando em
e usando a regra do produto em matrizes, obtemos
Isolando
, vem
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto à função
. Temos
Passo 4
Substituindo a expressão de
que achamos no Passo 2, obtemos