Exercício 1.6.3. Calcule as seguintes integrais:
Ie=integral tg(pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
Ie = integral tan(pi x),dx
O conteúdo necessário aqui é integração de função trigonométrica pelo método de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição u = pi x. Então
du = pi,dx Longrightarrow dx = dupi
A integral em x vira uma integral em u:

Passo 3

Substituindo em Ie, obtemos
Ie = integral tan(pi x),dx = integral tan(u),dupi = 1piintegral tan(u),du
Sabemos da tabela de integrais que
integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r| + C

Passo 4

Portanto
Ie = 1pil(-lnl|cos(u)r|r) + C = -1pilnl|cos(u)r| + C
Voltando a u = pi x, concluímos
Ie = -1pilnl|cos(pi x)r| + C,
que também pode ser escrito como
Ie = 1pilnl|sec(pi x)r| + C

Resposta

Ie = -1pilnl|cos(pi x)r| + C

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