Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
2(y-1) d y=(3 x^2+4 x+2) d x;

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
2(y-1),dy = l(3x^2 + 4x + 2r),dx,
que é uma ODE separável: um lado depende só de y, o outro só de x. Vamos separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Separando e escrevendo as integrais, obtemos
integral 2(y-1),dy ;=;integral l(3x^2 + 4x + 2r),dx

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em y:
integral 2(y-1),dy =2integral(y-1),dy =2l(tfracy^22-yr) =y^2-2y

Passo 4

Integramos o lado direito em x:
integrall(3x^2+4x+2r),dx =integral 3x^2,dx+integral 4x,dx+integral 2,dx =x^3+2x^2+2x

Passo 5

Igualando as primitivas e incluindo constante de integração C, fica
y^2-2y = x^3+2x^2+2x + C
Podemos deixar assim (forma implícita) ou escrever explicitamente isolando y:
y^2-2y+1 = x^3+2x^2+2x + C +1 Longrightarrow (y-1)^2 = x^3+2x^2+2x + C',
onde C'=C+1. Logo
y-1 = pmraizx^3+2x^2+2x + C' Longrightarrow y = 1 pm raizx^3+2x^2+2x + C'

Resposta

A solução geral (implícita) é
y^2-2y = x^3+2x^2+2x + C,
ou, de forma explícita,
y = 1 pm raizx^3+2x^2+2x + C'

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