Comprovar as equações abaixo, utilizando somente as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo para um sistema binário:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a igualdade
usando somente as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo para um sistema binário.
Informações e símbolos relevantes fornecidos (ou que vamos usar):
Informações e símbolos relevantes fornecidos (ou que vamos usar):
-
é a concentração molar total (número de mols por unidade de volume) do sistema. -
é a pressão total do gás (soma das pressões parciais das duas espécies). -
é a constante dos gases ideais. -
é a temperatura absoluta (em Kelvin). - Para cada espécie
( num sistema binário) teremos: número de mols , concentração molar , pressão parcial , velocidade média e densidade de fluxo . - As definições que podemos usar:
- concentração molar de
: ; - velocidade média de
: (magnitude média de velocidade convectiva; explicarei o significado); - densidade de fluxo molar de
: (fluxo de mols por área e por tempo, em 1D ou para componente na direção considerada).
- concentração molar de
Passo 2
Definição de concentração — o que é e por que escrevemos assim.
Concentração molar de uma espécie é a quantidade de matéria (mols) dessa espécie por unidade de volume. Formalmente:
Concentração molar de uma espécie
onde:
-
é o número de mols da espécie ; -
é o volume ocupado pela mistura (mesmo volume comum a ambas as espécies, porque estão misturadas).
A concentração totalda mistura (mols totais por volume) é a soma das concentrações parciais:
onde
é o número total de mols.
Passo 3
Definição de velocidade e densidade de fluxo — interpretação e unidades.
- A velocidade
que usamos aqui é a velocidade média convectiva da espécie (por exemplo, velocidade média de transporte do centro de massa daquela espécie). Tem dimensão de comprimento por tempo (m·s^{-1}). - A densidade de fluxo molar
é a quantidade de mols de que atravessa uma unidade de área por unidade de tempo; em 1D (ou projetada na direção de interesse) escrevemos:
Unidades:
em mol·m^{-3},
em m·s^{-1} então
em mol·m{-2}·s{-1}.
Comentário prático: essa definição relaciona concentração (quantidade por volume) à velocidade (quanto disso se move) para dar o fluxo (quanto passa por uma área).
Comentário prático: essa definição relaciona concentração (quantidade por volume) à velocidade (quanto disso se move) para dar o fluxo (quanto passa por uma área).
Passo 4
Lei dos gases ideais aplicada a cada componente (definição que podemos usar).
Para um gás ideal a quantidade de mols , a pressão parcial
, o volume
e a temperatura
estão ligados por:
Para um gás ideal a quantidade de mols
Isto é a forma da lei dos gases ideais aplicada à espécie
(pressão parcial). Aqui
é a pressão que a espécie
exerceria se ocupasse sozinha o volume
à mesma temperatura (definição de pressão parcial / lei de Dalton para misturas ideais).
Agora, dividindo ambos os lados por obtemos:
Agora, dividindo ambos os lados por
Usando a definição de concentração para
(
) temos:
Isolando
:
Explicação: isso diz que a concentração molar de cada componente é diretamente proporcional à sua pressão parcial e inversamente proporcional a
.
Passo 5
Somando as contribuições das duas espécies (sistema binário) e usando additividade das pressões parciais.
Em uma mistura ideal (binária), a pressão total é soma das pressões parciais:
Em uma mistura ideal (binária), a pressão total
Pela relação obtida no passo anterior para cada espécie:
Somando:
Como
, segue:
Isso prova a igualdade desejada usando somente as definições de concentração e a relação gás ideal (aplicada em termos de pressões parciais) — e tendo mencionado as definições de velocidade e densidade de fluxo (que não alteram a identidade, mas garantem a interpretação física de
quando ligado a um fluxo
).
Passo 6
Observação alternativa (mais direta) e coerência com a definição total.
Aplicando a lei dos gases ideais ao total da mistura temos diretamente:
Aplicando a lei dos gases ideais ao total da mistura temos diretamente:
onde
. Dividindo por
:
Mas
(concentração total), então:
mesma conclusão. Isso mostra coerência entre ver a mistura por componentes (pressões parciais) ou como um todo.