Comprovar as equações abaixo, utilizando somente as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo para um sistema binário:
C=\frac{P}{R T}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a igualdade
C=\frac{P}{R T}
usando somente as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo para um sistema binário.
Informações e símbolos relevantes fornecidos (ou que vamos usar):
  • C é a concentração molar total (número de mols por unidade de volume) do sistema.
  • P é a pressão total do gás (soma das pressões parciais das duas espécies).
  • R é a constante dos gases ideais.
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
  • Para cada espécie i ( i=1,2 num sistema binário) teremos: número de mols n_i, concentração molar C_i, pressão parcial p_i, velocidade média v_i e densidade de fluxo J_i.
  • As definições que podemos usar:
    • concentração molar de i: C_i=\dfrac{n_i}{V};
    • velocidade média de i: v_i (magnitude média de velocidade convectiva; explicarei o significado);
    • densidade de fluxo molar de i: J_i = C_i v_i (fluxo de mols por área e por tempo, em 1D ou para componente na direção considerada).

Passo 2

Definição de concentração — o que é e por que escrevemos assim.
Concentração molar de uma espécie i é a quantidade de matéria (mols) dessa espécie por unidade de volume. Formalmente:
C_i=\frac{n_i}{V},
onde:
  • n_i é o número de mols da espécie i;
  • V é o volume ocupado pela mistura (mesmo volume comum a ambas as espécies, porque estão misturadas).
    A concentração total C da mistura (mols totais por volume) é a soma das concentrações parciais:
C = C_1 + C_2 = \frac{n_1+n_2}{V} = \frac{n}{V},
onde n=n_1+n_2 é o número total de mols.

Passo 3

Definição de velocidade e densidade de fluxo — interpretação e unidades.
  • A velocidade v_i que usamos aqui é a velocidade média convectiva da espécie i (por exemplo, velocidade média de transporte do centro de massa daquela espécie). Tem dimensão de comprimento por tempo (m·s^{-1}).
  • A densidade de fluxo molar J_i é a quantidade de mols de i que atravessa uma unidade de área por unidade de tempo; em 1D (ou projetada na direção de interesse) escrevemos:
J_i = C_i\, v_i.
Unidades: C_i em mol·m^{-3}, v_i em m·s^{-1} então J_i em mol·m{-2}·s{-1}.
Comentário prático: essa definição relaciona concentração (quantidade por volume) à velocidade (quanto disso se move) para dar o fluxo (quanto passa por uma área).

Passo 4

Lei dos gases ideais aplicada a cada componente (definição que podemos usar).
Para um gás ideal a quantidade de mols n_i, a pressão parcial p_i, o volume V e a temperatura T estão ligados por:
p_i V = n_i R T.
Isto é a forma da lei dos gases ideais aplicada à espécie i (pressão parcial). Aqui p_i é a pressão que a espécie i exerceria se ocupasse sozinha o volume V à mesma temperatura (definição de pressão parcial / lei de Dalton para misturas ideais).
Agora, dividindo ambos os lados por V obtemos:
p_i = \frac{n_i}{V}\,R T.
Usando a definição de concentração para i ( C_i=\dfrac{n_i}{V}) temos:
p_i = C_i\, R T.
Isolando C_i:
C_i=\frac{p_i}{R T}.
Explicação: isso diz que a concentração molar de cada componente é diretamente proporcional à sua pressão parcial e inversamente proporcional a R T.

Passo 5

Somando as contribuições das duas espécies (sistema binário) e usando additividade das pressões parciais.
Em uma mistura ideal (binária), a pressão total P é soma das pressões parciais:
P = p_1 + p_2.
Pela relação obtida no passo anterior para cada espécie:
C_1=\frac{p_1}{R T},\qquad C_2=\frac{p_2}{R T}.
Somando:
C = C_1+C_2 = \frac{p_1}{R T} + \frac{p_2}{R T} = \frac{p_1+p_2}{R T}.
Como p_1+p_2=P, segue:
C = \frac{P}{R T}.
Isso prova a igualdade desejada usando somente as definições de concentração e a relação gás ideal (aplicada em termos de pressões parciais) — e tendo mencionado as definições de velocidade e densidade de fluxo (que não alteram a identidade, mas garantem a interpretação física de C quando ligado a um fluxo J_i=C_i v_i).

Passo 6

Observação alternativa (mais direta) e coerência com a definição total.
Aplicando a lei dos gases ideais ao total da mistura temos diretamente:
P V = n R T,
onde n=n_1+n_2. Dividindo por V:
P = \frac{n}{V} R T.
Mas \dfrac{n}{V}=C (concentração total), então:
C=\frac{P}{R T},
mesma conclusão. Isso mostra coerência entre ver a mistura por componentes (pressões parciais) ou como um todo.

Resposta

C=\frac{P}{R T}

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