Comprovar as equações abaixo, utilizando somente as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo para um sistema binário:
\frac{J_{A}}{J_{A}^{*}}=\frac{M_{B}}{M}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pede-se provar a igualdade \dfrac{J_{A}}{J_{A}^{*}}=\dfrac{M_{B}}{M} para um sistema binário, usando apenas as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo.
  • Informações / notação que vamos usar (tudo definido explicitamente):
    • c_{A} e c_{B} são as concentrações molares (mol por volume) das espécies A e B.
    • c é a concentração total: \;c=c_{A}+c_{B}.
    • Frações molares: \;x_{A}=\dfrac{c_{A}}{c},\quad x_{B}=\dfrac{c_{B}}{c}.
    • M_{A} e M_{B} são as massas molares (molar masses) de A e B.
    • M é a massa molar média da mistura (massa por mol de mistura): M=\dfrac{\rho}{c}=\dfrac{c_{A}M_{A}+c_{B}M_{B}}{c}=x_{A}M_{A}+x_{B}M_{B},onde \rho é a densidade de massa total.
    • v_{A} e v_{B} são as velocidades das espécies A e B.
    • Velocidade média molar (velocidade média por mol): \;v^{*}=\dfrac{c_{A}v_{A}+c_{B}v_{B}}{c}.
    • Velocidade média de massa (velocidade barycêntrica): \;v=\dfrac{\rho_{A}v_{A}+\rho_{B}v_{B}}{\rho} =\dfrac{c_{A}M_{A}v_{A}+c_{B}M_{B}v_{B}}{cM}.
    • Densidades de fluxo (definições exigidas): J_{A}=c_{A}(v_{A}-v)\quad\text{e}\quad J_{A}^{*}=c_{A}(v_{A}-v^{*}).
  • Objetivo: a partir dessas definições, manipular algebricamente para obter \frac{J_{A}}{J_{A}^{*}}=\frac{M_{B}}{M}.

Passo 2

Estratégia (curta e direta): expressar v e v^{*} em função de v_{B} e da diferença \Delta v=v_{A}-v_{B}. Isso facilita expressar J_{A} e J_{A}^{*} em termos de \Delta v e simplificar o quociente.
Defina \Delta v=v_{A}-v_{B}. Então v_{A}=v_{B}+\Delta v.
Calcule v^{*} em termos de v_{B} e \Delta v:
v^{*}=\dfrac{c_{A}v_{A}+c_{B}v_{B}}{c} =\dfrac{c_{A}(v_{B}+\Delta v)+c_{B}v_{B}}{c} = v_{B} + \dfrac{c_{A}}{c}\,\Delta v = v_{B}+x_{A}\Delta v.
Calcule v em termos de v_{B} e \Delta v. Lembre que \rho=cM, logo
v=\dfrac{c_{A}M_{A}v_{A}+c_{B}M_{B}v_{B}}{cM} =\dfrac{c_{A}M_{A}(v_{B}+\Delta v)+c_{B}M_{B}v_{B}}{cM} = v_{B} + \dfrac{c_{A}M_{A}}{cM}\,\Delta v = v_{B} + x_{A}\dfrac{M_{A}}{M}\,\Delta v.

Passo 3

Calcule J_{A}^{*}=c_{A}(v_{A}-v^{*}) usando as expressões anteriores.
Substitua v_{A}=v_{B}+\Delta v e v^{*}=v_{B}+x_{A}\Delta v:
J_{A}^{*}=c_{A}\bigl((v_{B}+\Delta v)-(v_{B}+x_{A}\Delta v)\bigr) = c_{A}(1-x_{A})\Delta v.
Como 1-x_{A}=x_{B}, obtemos
\boxed{\,J_{A}^{*}=c_{A}x_{B}\,\Delta v. \,}
Explanação rápida: J_{A}^{*} é a parte do movimento de A relativa à velocidade média molar; ela é proporcional à concentração c_{A}, à fração molar do outro componente x_{B} (pois quanto maior x_{B} maior o contraste) e à diferença de velocidades \Delta v.

Passo 4

Calcule J_{A}=c_{A}(v_{A}-v) e transforme para comparar com J_{A}^{*}.
Substitua v_{A}=v_{B}+\Delta v e v= v_{B} + x_{A}\dfrac{M_{A}}{M}\Delta v:
J_{A}=c_{A}\bigl((v_{B}+\Delta v)-(v_{B}+x_{A}\tfrac{M_{A}}{M}\Delta v)\bigr) = c_{A}\Bigl(1 - x_{A}\dfrac{M_{A}}{M}\Bigr)\Delta v.
Simplifique o fator dentro do parêntese usando M=x_{A}M_{A}+x_{B}M_{B}. Observe:
1 - x_{A}\dfrac{M_{A}}{M}=\dfrac{M - x_{A}M_{A}}{M} =\dfrac{x_{A}M_{A}+x_{B}M_{B}-x_{A}M_{A}}{M} =\dfrac{x_{B}M_{B}}{M}.
Portanto
\boxed{\,J_{A}=c_{A}\, \dfrac{x_{B}M_{B}}{M}\,\Delta v. \,}

Passo 5

Compare J_{A} e J_{A}^{*} e obtenha o quociente pedido.
Temos das caixas anteriores:
J_{A}^{*}=c_{A}x_{B}\Delta v,\qquad J_{A}=c_{A}\dfrac{x_{B}M_{B}}{M}\Delta v.
Dividindo membro a membro:
\frac{J_{A}}{J_{A}^{*}} =\frac{c_{A}\dfrac{x_{B}M_{B}}{M}\Delta v}{c_{A}x_{B}\Delta v} =\frac{M_{B}}{M}.
Assim chegamos exatamente à relação desejada.

Resposta

\dfrac{J_{A}}{J_{A}^{*}}=\dfrac{M_{B}}{M}

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