Comprovar as equações abaixo, utilizando somente as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo para um sistema binário:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
- Pede-se provar a igualdade
para um sistema binário, usando apenas as definições de concentração, velocidade e densidade de fluxo. - Informações / notação que vamos usar (tudo definido explicitamente):
-
e são as concentrações molares (mol por volume) das espécies e . -
é a concentração total: - Frações molares:
-
e são as massas molares (molar masses) de e . -
é a massa molar média da mistura (massa por mol de mistura): onde é a densidade de massa total. -
e são as velocidades das espécies e . - Velocidade média molar (velocidade média por mol):
- Velocidade média de massa (velocidade barycêntrica):
- Densidades de fluxo (definições exigidas):
-
- Objetivo: a partir dessas definições, manipular algebricamente para obter
Passo 2
Estratégia (curta e direta): expressar
e
em função de
e da diferença
. Isso facilita expressar
e
em termos de
e simplificar o quociente.
Defina
Então
Calcule
em termos de
e
:
Calcule
em termos de
e
. Lembre que
, logo
Passo 3
Calcule
usando as expressões anteriores.
Substitua
e
:
Como
, obtemos
Explanação rápida:
é a parte do movimento de
relativa à velocidade média molar; ela é proporcional à concentração
, à fração molar do outro componente
(pois quanto maior
maior o contraste) e à diferença de velocidades
.
Passo 4
Calcule
e transforme para comparar com
.
Substitua
e
:
Simplifique o fator dentro do parêntese usando
. Observe:
Portanto
Passo 5
Compare
e
e obtenha o quociente pedido.
Temos das caixas anteriores:
Dividindo membro a membro:
Assim chegamos exatamente à relação desejada.